¿ es posible determinar las características cinemáticas de una partícula en movimiento con el uso de las ecuaciones vectorialesy parametricas de la recta?Alguien que me ayude plis lo necesito.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
Respuesta:
Cualquier recta, queda totalmente definida con una dirección y un punto.
Por tanto, vamos a obtener la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto P0:
Y cuyo vector de dirección queda definido por el vector v:
Tal y como se muestra en la siguiente imagen:
Vamos a demostrar cómo obtener la ecuación vectorial de una recta, sabiendo su vector de dirección y un punto por donde pasa.
Para ello, podemos tomar un punto cualquiera de la recta, como por ejemplo el punto P:
La ecuación vectorial vendrá determinada por el vector OP, es decir, el vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto P, perteneciente a la recta:
Podemos hallar el vector OP como la suma vectorial del vector OP0 más el vector P0P, siendo el vector OP0 un vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en P0, y el vector P0P un vector con origen en el punto P0 y extremo en el punto P:
Que gráficamente queda:
Por otro lado, el vector P0P, lo podemos expresar en función del vector de dirección de la recta, multplicando el vector v por un número t, tal que lo convierta en un vector con la longitud requerida:
Por lo que la ecuación vectorial, queda expresada con la siguiente fórmula:
Que expresada en función de las coordenadas de cada vector queda:
Fórmula que utilizaremos para calcular la ecuación vectorial de cualquier recta, conociendo su vector de dirección y un punto por donde pase, siendo X0 e Y0, las cooredadas del punto y a y b las coordenadas del vector de dirección y t es un número perteneciente al conjunto de los números reales.
Aunque la demostración resulte algo confusa, verás que hallar la ecuación vectorial es muy sencillo.
Vamos a verlo en el siguiente ejemplo:
Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de dirección es v=(1,5).
Según los datos del enunciado, la recta pasa por el punto:
Y tiene como vector de dirección:
Vamos a obtener su ecuación vectorial.
Para ello, a partir de la fórmula de la ecuación vectorial de una recta:
Sustituimos las coordenadas del X0 e Y0 por las coordenadas del punto y las coordenadas a y b por las coordenadas del vector, y nos queda:
Y ya tenemos la ecuación vectorial buscada.
Ecuación paramétrica de la recta
Seguimos ahora con la ecuación paramétrica de la recta.
Esta ecuación se calcula a partir de la ecuación vectorial:
En primer lugar, multiplicamos el número t por las coordenadas del vector:
Ahora sumamos ambos vectores, las coordenadas x de los vectores por un lado y las coordenadas «y» por el otro, expresándolas en un sólo vector:
Llegados a este punto, podemos escribir en una ecuación la coordenada x y en otra ecuación la coordenada «y» del vector obtenido anteriormente, obteniendo las ecuaciones paramétricas de una recta:
Donde X0 e Y0 cooresponden a las coordenadas del punto por donde pasa la recta y a y b a las coordenadas de su vector de dirección:
Vamos a ver un ejemplo de como calcular las ecuaciones paramétricas de una recta:
Hallar las ecuaciones paramétiricas de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de dirección es v=(1,5).
Para calcular las ecuaciones paramétricas, antes debemos calcular la ecuación vectorial, que ya la tenemos calculada del ejemplo anterior:
Ahora multiplicamos la t por las coordenadas del vector:
Y sumamos las coordenadas de ambos vectores, expresándolas en un sólo vector:
Finalmente, escribimos la ecuación de la coordenada x por un lado y la ecuación de la coordenada «y» por el otro, llegando a las ecuaciones paramétricas.
Ejercicio resuelto sobre las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta
Vamos a resolver ahora un ejercicio sobre cómo calcular la ecuación vectorial y paramétrica de una recta.
Determina las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por el punto A (-2,-2) y tiene como vector de director v (1,3).
Tenemos que calcular las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por el punto:
Y tiene como vector de dirección:
Empezamos por la ecuación vectorial, por lo que utilizaremos la fórmula de la ecuación vectorial de una recta:
Sustituimos X0 e Y0 por las coordenadas del punto A y a y b por las coordenadas del vector de director:
Ya hemos obtenido la ecuación vectorial.
Vamos a calcular ahora las ecuaciones paramétricas.
Para ello a partir de la ecuación vectorial que acabamos de calcular, multiplicamos la t por las coordenadas del vector director:
Ahora sumamos las coordenadas de cada vector, expresándolas en un solo vector:
Y finalmente escribimos la ecuación de la coordenada x y de la coordenada «y» por separado: