Question

Encuentre la pendiente, el ángulo de inclinación y la longitud del segmento de recta que une cada par de puntos dados: a) A(2, 5) , B(4, −3)

Answer 1

La pendiente del segmento de recta que une los pares de puntos dados es -4

Siendo su ángulo de inclinación de 104.04°

La longitud del segmento de recta es de 2√17 unidades

La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de una recta.

El ángulo de inclinación es un ángulo que se calcula desde la horizontal. Siendo el ángulo de inclinación de una recta el ángulo que esta forma con el eje X. El cual se mide desde el eje X en sentido contrario a las manecillas del reloj o en sentido antihorario

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La fórmula para calcular la pendiente de la recta es: m = tan α

Para poder hallar el ángulo de inclinación debemos determinar primero la pendiente

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta se define como la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ vertical }{ cambio \ horizontal } }}$

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas

$\bold { A\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B\ (x_{2},y_{2} )}$

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Por tanto la pendiente de una recta está dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Determinamos la pendiente m del segmento de recta que une los puntos:

$\bold { A\ (2 ,5) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B\ ( 4 , -3) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{ Reemplazamos}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -3 - (5) }{ 4 - (2) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -3-5 }{4-2 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -8 }{ 2 } }}$

$\large\boxed{\bold {m =- 4}}$

La pendiente es -4

Hallamos el ángulo de inclinación del segmento que une los dos pares de puntos dados

$\large\boxed{\bold { m = tan\ \alpha }}$

Siendo la pendiente la tangente del ángulo de inclinación de una recta

Tomamos el valor de la pendiente y hallamos el ángulo de inclinación

$\boxed{\bold {tan\ \alpha =-4 }}$

$\large\textsf{ Aplicamos tangente inversa para hallar el \'angulo}$

$\boxed{\bold { \alpha =arctan (-4 ) }}$

$\large\boxed{\bold {\alpha = -75.96^o }}$

Al ser el ángulo negativo:

Y el ángulo de inclinación de una recta debe ser siempre positivo

$\boxed{\bold {\alpha =180^o -75.96^o }}$

$\large\boxed{\bold {\alpha =104.04^o }}$

Luego el ángulo de inclinación es de 104.04°

Siendo un ángulo obtuso

Esto es porque la pendiente de la recta es negativa (m < 0), por lo tanto el ángulo de inclinación respecto al semieje positivo de X es obtuso, es decir mayor que 90° y menor que 180°

Hallamos la longitud del segmento de recta que une el par de puntos dados

Empleamos la fórmula de la distancia para determinar la longitud del segmento de recta determinado por el par de puntos dados

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\bold { A\ (2 ,5) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B\ ( 4 , -3) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Sustituimos los valores de los puntos en la fórmula de la distancia

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{(4-2 )^{2} +(-3)-5)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{(4-2 )^{2} +(-3-5)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{(2)^{2} +(-8)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{4 + 64 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{68 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{4 \ . \ 17 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{ AB } = \sqrt{2^{2} \ . \ 17 } } }$

$\large\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{AB} =2\sqrt{17} \ unidades } }$

La longitud del segmento de recta que une el par de puntos dados es de 2√17 unidades

Se agrega gráfico