Question

Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de f(x)=x^3-3x+2 y g(x)=x+2. Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y considere el área en unidades cuadradas.

Answer 1

El área en geometría es una definición que se utiliza para asignar una medida a un espacio determinado.

La Integral definida de una función representa el área que hay bajo la curva de dicha función. Si deseamos calcular el área comprendida entre dos funciones se calcula el área de la función de arriba y se resta con el área de a función de abajo. Por lo que por linealidad de la integral nos queda que el área entre dos funciones es el área de la resta de las dos funciones.

Para calcular el área de una función hay que graficar dichas funciones (Ver figura 1)

Luego de graficar las dos funciones hay que determinar los puntos de cortes entre las dos funciones y graficarlas juntas. Para esto igualamos las dos funciones f(x)=g(x)

$x^{3} -3x+2 = x+2$ ⇒ $x^{3}-4x=0$ encontrando las raíces x1=0, x2=2, x3=-2; evaluando  x1,x2 y x3 en cualquiera de las dos funciones obtenemos el valor de “y” y tenemos los puntos P1(0,2), P2(2,4) y P3(-2,0)

Ahora graficamos las dos funciones con sus puntos de corte (ver figura 2)

Luego dividimos en intervalo de acuerdo a que en x=0 la función f(x) pasa de estar por debajo a estar por arriba y viceversa con g(x), entonces calculamos el area para x entre -2 y 0 y le sumamos el area para x entre 0  y 2

llamemos a=-2

g(x)-f(x)=  $- x^{3}+4x$  = $- ( x^{3} -4x)$

f(x)-g(x) = $( x^{3} -4x)$

$Area = (\int\limits^0_a { x^{3} -4x} \, dx) - \int\limits^2_0 { x^{3} -4x} \, dx = (\frac{ x^{4}}{4}-2 x^{2} )$ de -2 a 0 -( $(\frac{ x^{4}}{4}-2 x^{2} )$ ) de 0 a 2

= $(( \frac{ 0^{4} }{4}-2*0^{2} )- ( \frac{ -2^{4} }{4}-2*-2^{2} )) - ( ( \frac{ 2^{4} }{4}-2*2^{2} ) - ( \frac{ 0^{4} }{4}-2*0^{2} ) )$

= (0+4)-(-4+0) = 4+4 = 8 m²