Question

Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo .

Answer 1

Hola!

Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo.

Plantemos con variables los que nos piden:

1. $y-x=100$

2.$P=x*y$, sea un mínimo.

Lo que debemos hacer es despejar x de la ecuación 1.

$y=x+100$, esta la sustituimos es 2.

$P=x*(x+100)= x^{2} +100x$. 

Para tener un mínimo la ecuación se deriva una vez y se iguala a cero, despejando la variable x, donde este es un mínimo:

$P'= 2x+100$

$2x+100=0$

$x=-100/2= -50$, luego este valor lo sustituimos en la primera función 1.

$y=-50+100=50$.

Tenemos nuestros dos números que satisfacen las condiciones:

$x=-50$

$y=50$

$y-x=50-(-50)=100$

$P=y*x=50*-50=-2500$.

Espero haberte ayudado!

Answer 2

Hola!

Para hallar la respuesta a este problema de optimización debemos llevar a cabo una aplicación de las derivadas de la siguiente forma:

Decimos que el primer número es X y el segundo número es Y, pero con base en lo planteado en el enunciado...
X - Y = 100
y por lo tanto Y = X - 100

Además sabemos que el producto de ambos números es un mínimo, por lo tanto p = XY
p = X(X - 100)
p = X² - 100X

Esta función cuadrática denota la gráfica de una parábola orientada hacia arriba, ya que "a" es un número positivo, por ende, para hallar el mínimo de esa función derivaremos el producto de los números y diremos que:
P = X² - 100X
P' = 2X - 100

De este resultado despejaremos X para hallar su valor:
2X = 100
X = 50

Y con el valor de X podemos decir que:
 Y = (50) - 100
Y = - 50

R: Los números buscados son el 50 y el -50.

Saludos!