Question

Encuentra la función que expresa el área de un rectángulo de perímetro 16, en función de la medida de su base
a) ¿Cuales deben ser las longitudes de los lados del rectángulo para que el área sea máxima?

Answer 1

Sean x e y la base y la altura del rectángulo.

El perímetro es P = 2 (x + y) = 16

El área es A = x y = x (8 - x) = 8 x - x²

A = 8 x - x²

Siendo un arco parabólico, el área máxima corresponde con las coordenadas del vértice.

Completamos cuadrados:

A = - (x² - 8 x + 16) + 16 = - (x - 4)² + 16

A - 16 = - (x - 4)²

El vértice es V(4, 16)

Área máxima = 16

Para x = 4, y = 4

Por lo tanto el tal rectángulo de área máxima es un cuadrado de lado 4

Adjunto dibujo de la función.

Si se sabe Cálculo, el punto crítico se halla en la primera derivada nula.

A' = 8 - 2 x = 0; x = 4

Mateo