Estadística y Cálculo, pregunta formulada por claraDhuevo, hace 1 año

Encuentra el valor de la integral de la siguiente funcion en el intervalo [1, e] : f(t) =  \frac{log(t)}{t}



....La respuesta es
 \frac{1}{2(e-1)}

me explican porfa


claraDhuevo: Si, decia 1/2(e-1)

Respuestas a la pregunta

Contestado por MinosGrifo
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Hola.

Primero debes cambiar de base logarítmica. Recuerda que para ir de una base ''a'' a una ''c'' debes hacer:

 log_{a}b= \frac{ log_{c}b }{ log_{c}a }

Tomando en cuenta que un logaritmo natural no es otra cosa que un logaritmo en base ''e'', donde e = 2.718281828.... usamos:

 log_{10}(t)= \frac{ log_{e}(t) }{ log_{e}(10) }  = \frac{ln(t)}{ln(10)}

Por lo tanto:

 \int\limits^e_1 { \frac{log(t)}{t} } \, dt =  \frac{1}{ln(10)} \int\limits^e_1 { \frac{ln(t)}{t} } \, dt

De momento solo nos centramos en la antiderivada (integral indefinida) y luego evaluamos los límites de la integral definida.

Aplicamos un cambio de variable:

u=ln(t)

du= \frac{dt}{t}

Entonces la antiderivada nos queda:

 \frac{1}{ln(10)}  \int { \frac{ln(t)}{t} } \, dt= \frac{1}{ln(10)} \int {u} \, du= (\frac{1}{ln(10)})(  \frac{ u^{2} }{2}} )= \frac{ u^{2} }{2ln(10)}

Si regresamos a la variable original ''t'' llegamos a:

 \frac{ (ln(t))^{2} }{2ln(10)}

Y para encontrar el valor de la integral definida entre los límites [1, e], usamos el teorema fundamental del cálculo:

 \int\limits^a_b {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)

Donde ''F(b)'' y ''F(a)'' son las antiderivadas de f(x) evaluadas en el límite superior e inferior respectivamente:

  \int\limits^e_1 { \frac{log(t)}{t} } \, dt = \frac{1}{2ln(10)}[(ln(e))^{2}-((ln(1)^{2})]

El logaritmo natural de ''e'' es 1 y el logaritmo natural de 1 es 0. Reemplazando esto:

 \frac{1}{2ln(10)}( 1^{2}- 0^{2} )= \frac{1}{2ln(10)}

Concluimos que:

\int\limits^e_1 { \frac{ln(t)}{t} } \, dt= \frac{1}{2ln(10)}

Un saludo.
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