Question

.- Encuentra el polinomio de Lagrange para cierta función f de la que conocemos que f(-1)=1; f(0)=-0; f(1)=1; f(2)=8

Answer 1

El polinomio de Lagrange sera: $L=\frac{-x^{3}+3x^{2}-2x}{6}+\frac{-x^{3}+2x^{2}-x^{2}+2x}{2}+\frac{8x^{3}-8x}{6}$

Explicación paso a paso:

Un polinomio de lagrange es un polinomio que aproxima a una función conociendo el valor de la misma en ciertos puntos. Para calcular el polinomio de Lagrange, seguimos los siguientes pasos:

Supongamos que tenemos x1, x2, x3,..., xn puntos donde conocemos f(xj) para j= 1,...,n, Entonces

1. Hallamos Lj's  para j =1, 2, 3,...,n. Donde:

$Lj = \prod \frac{x-xi}{xj-xi}  i\neq j$

2. Nuestro polinomio sera:

$\sum f(xj)*Li$

Por lo tanto, nuestros puntos son x1= -1, x2 = 0, x3= 1, x4= 8

$L1 =\prod \frac{x-xi}{-1-xi}$

$L1 =\frac{x-0}{-1-0}*\frac{x-1}{-1-1}*\frac{x-2}{-1-2} = -x*\frac{-x+1}{2} * \frac{-x+2}{3}$

$= \frac{(x^{2}-x)(-x+2) }{6} =\frac{-x^{3}+2x^{2}+x^{2}-2x}{6}=\frac{-x^{3}+3x^{2}-2x}{6}$

$L2 =\prod \frac{x-xi}{0-xi}$

$L2 =\frac{x+1}{0+1}*\frac{x-1}{0-1}*\frac{x-2}{0-2} = (x+1)*(-x+1)* \frac{-x+2}{2}$

$= (-x^{2}+x-x+1)* \frac{-x+2}{2}= (-x^{2}+1)* \frac{-x+2}{2} =\frac{x^{3}-2x^{2}-x+2}{2}$

$L3 =\prod \frac{x-xi}{1-xi}$

$L3 =\frac{x+1}{1+1}*\frac{x-0}{1-0}*\frac{x-2}{1-2} = \frac{x+1}{2}*x*(-x+2)$

$= \frac{x+1}{2}*(-x^{2}+2x)=\frac{-x^{3}+2x^{2}-x^{2}+2x}{2}$

Por ultimo

$L4 =\prod \frac{x-xi}{2-xi}$

$L4 =\frac{x+1}{2+1}*\frac{x-0}{2-0}*\frac{x-1}{2-1}=\frac{x+1}{3}*\frac{x}{2}*(x-1)= \frac{x^{2}+x}{6}*(x-1)$

$= \frac{x^{3}-x^{2}+x^{2}-x}{6}=\frac{x^{3}-x}{6}$

Por lo tanto el polinomio de Lagrange sera:

$L=1* \frac{-x^{3}+3x^{2}-2x}{6}+0*\frac{x^{3}-2x^{2}-x+2}{2}+1*\frac{-x^{3}+2x^{2}-x^{2}+2x}{2}+8*\frac{x^{3}-x}{6}$

$L=\frac{-x^{3}+3x^{2}-2x}{6}+\frac{-x^{3}+2x^{2}-x^{2}+2x}{2}+\frac{8x^{3}-8x}{6}$