Question

Encontrar la ecuación de la tangente a la circunferencia en el punto (-2,-5) con centro en (4,3)

Answer 1

Saludos

Los puntos
C(4, 3)      (x2, y2)
P(-2, -5)    (x1, y1)

proporcionan la pendiente de una recta y posteriormente reemplazando cualquiera de los dos puntos tendríamos la ecuación de la recta 

y = mx + b

sabemos que para que una recta sea perpendicular a otra su producto debe ser (-1)

m * m1 = -1

esa recta perpendicular es justamente la tangente en el punto (-2, -5) y realizamos el mismo procedimiento para hallar la ecuación de esa recta tangente, así

C(4, 3)      (x2, y2)
P(-2, -5)    (x1, y1)

        y2 - y1       3 - (-5)       3 + 5     8     4           4
m = ------------- = -------------- = --------- = --- = ---  m = -----
        x2 - x1       4 - (-2)        4 + 2    6     3           3

es la pendiente de la recta que pasa por el centro de la circunferencia

la pendiente de la recta perpendicular y exactamente tangente a la circunferencia debe tener pendiente

m * m1 = -1
m1 = (-1)/(4/.3)
m1 = -3/4

El punto 

P(-2, -5)    (x1, y1), pertence a dicha recta, entonces

y = mx + b, (1)        reemplazo P e m1 en (1)
-5 = (-3/4)(-2) + b
-5 = (6/4) + b
-5 = (3/2) + b
b = - 5 - (3/2)
b = -13/2

la ecuación será 

y = -(3/4) x - 13/2

Espero te sea de ayuda