Question

encontrar la distancia del punto (5,-10) ala recta que pasó por (-4,3) y 2,8) por favor ​

Answer 1

【Rpta.】La distancia del punto (5,-10) a la recta es de aproximadamente 7.426 unidades.

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Lo primero que hallaremos será la ecuación de la recta por ello recordemos lo siguiente:

                    $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}}} \hspace{30pt} \mathsf{Donde}\hspace{20pt} \overset{\displaystyle \nearrow \overset{\displaystyle \mathsf{\:\:m:pendiente}}{\vphantom{A}}}{\vphantom{\frac{a}{a}}} \kern-74pt\rightarrow\mathsf{\:(x_1,y_1):Punto\ de\ la\ recta}\kern-128pt\underset{\displaystyle \searrow \:\:\underset{\displaystyle \mathsf{(x_2,y_2):Punto\ de\ la\ recta}}{}}{}$

Del problema tenemos que

                           $\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright}\:\:\:\:\mathsf{\boldsymbol{\mathsf{A=}(}\:\overbrace{\boldsymbol{-4}}^{x_1}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{3}}_{y_1}\:\boldsymbol{)}}$                   $\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright}\:\:\:\:\mathsf{\boldsymbol{\mathsf{B=}(}\:\overbrace{\boldsymbol{2}}^{x_2}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{8}}_{y_2}\:\boldsymbol{)}}$

Reemplazamos

                                                      $\mathsf{\:\:m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{8-(3)}{2-(-4)}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\boxed{\boldsymbol{\mathsf{m=\dfrac{5}{6}}}}}$

Ahora para determinar la ecuación usaremos la pendiente que calculamos y un punto cualquiera, en este caso utilizaremos "A"

                                                 $\checkmark\:\:\:\:\mathsf{\boldsymbol{\mathsf{A=}(}\:\overbrace{\boldsymbol{-4}}^{x_o}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{3}}_{y_o}\:\boldsymbol{)}}$

                                                         $\checkmark\:\:\:\: \mathsf{m = \dfrac{5}{6}}$

Reemplazamos

                                               $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:m = \dfrac{y-y_o}{x - x_o}}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:y-y_o=m(x-x_o)}\\\\\mathsf{[y - (3)] = \left(\dfrac{5}{6}\right)[x - (-4)]}\\\\\mathsf{\:\:\:\:(y - 3) = \left(\dfrac{5}{6}\right)(x + 4)}\\\\\mathsf{\:\:\:\:(6)(y - 3) = (5)(x + 4)}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:6y - 18 = 5x + 20}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:6y = 5x + 38}\\\\\mathsf{\:\:\:\underbrace{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{6y + 5x - 38 = 0}}}}}_{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:recta}}}$

Ahora recordemos que la distancia de un punto  a una recta está definido como:

                                           

Siendo la recta Ax + By + C = 0 y el punto P = (m,n)

 

Extraemos los datos del enunciado

              $\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:\underbrace{6}_{A}x + \underbrace{5}_{B}y \underbrace{-\:\:\:38}_{C} = 0}$                     $\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:P = \big(\underbrace{5}_{m},\underbrace{-10}_{n}\big)}$  

Reemplazamos estos datos en la fórmula

                                        $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\\\mathsf{d = \cfrac{|(6)(5) + (5)(-10) + (-38)|}{\sqrt{(6)^2 + (5)^2}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|30 + -50 + -38|}{\sqrt{36 + 25}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|-58|}{\sqrt{61}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{58}{7.81}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{d \approx 7.426\:unidades}}}}}$

La gráfica en la imagen es para comprobar nuestros resultados.

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{4 pt}\displaystyle \fbox{C\kern-6.5pt O}\hspace{4 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{4 pt} \displaystyle \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{4pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{4pt}\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$