Question

En una progresión geometrica at = 4 y as = 1. Escribe el término intermedio y el término general. Es unica la solución?​

Answer 1

Según lo que me aclaras en los comentarios, en realidad los datos del ejercicio son:

• a₁ = 4
• a₃ = 1

Y nos pide el término intermedio (a₂) el cual hay que intercalar entre los que nos dan.

Se recurre a la fórmula de interpolación de términos para una progresión geométrica (PG), que permite conocer la razón  r  de dicha PG y que dice:

$r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} }$

Donde:

• r = razón de la PG
• b = término mayor en el orden de la PG
• a = término menor en el orden de la PG
• m = nº de términos a intercalar  (para nuestro ejercicio: 1)

Sustituyo en la fórmula:

$r=\sqrt[1+1]{\dfrac{1}{4} } =\sqrt{\dfrac{1}{4} } =\dfrac{1}{2}$

Conocida la razón, multiplico el primer término (4) por ella y me dará el 2º término (a₂) que es el valor que buscamos.

a₂ = 4 × (1/2) = 2 es el término intermedio

El término general se obtiene usando la fórmula general establecida para este tipo de progresiones que dice:

aₙ = a₁ ₓ rⁿ⁻¹

Sustituyo  a₁  y  r  y simplifico la expresión resultante:

$a_n=4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\ \\ \\ a_n=4\times \dfrac{1^{(n-1)} }{2^{(n-1)} } \\ \\ \\ a_n=\dfrac{4}{2^{(n-1)}} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{2^2}{2^{(n-1)}}\\ \\ \\ a_n=2^{2-(n-1)} \\ \\ \\ \boxed{\bold{a_n=2^{(3-n)}}}$

Este es el término general de esa PG.

No sé la respuesta a la última pregunta. Yo diría que sí es única la solución pero no tengo un argumento sólido que lo demuestre.