Question

En una progresión aritmetica sabemos que A6=12 y A12=30 calcula los siguientes valores:
•An
•A500
•S500

Answer 1

Tarea:

En una progresión aritmética sabemos que a₆=12  y  a₁₂=30             Calcula los siguientes valores:

• aₙ
• a₅₀₀
• S₅₀₀

Respuesta:

aₙ =  3n - 6

a₅₀₀ = 1.494

S₅₀₀ = 372.750

Explicación paso a paso:

En las progresiones aritméticas existe una fórmula específica para calcular la diferencia "d" entre términos consecutivos a partir de interpolar términos entre dos de ellos que nos facilitan como datos.

En este caso nos dan el valor del 6º término a₆=12  y del  12º término a₁₂=30 y la fórmula en cuestión dice:

$d=\dfrac{b-a}{n+1}$

Siendo:

• d = diferencia entre términos consecutivos
• a = término menor de los que nos dan = 12
• b = término mayor de los que nos dan = 30
• n = número de términos a interpolar entre "a" y "b" = 5

El número de términos a interpolar son los que se insertarán entre el 6º y el 12º, es decir, el 7º, 8º, 9º, 10º y 11º = 5 términos.

Sustituyo en la fórmula y resuelvo para obtener el valor de "d".

$d=\dfrac{30-12}{5+1}=\dfrac{18}{6} =3$

Una vez que conozco la diferencia "d=3" entre términos consecutivos, acudo a la fórmula general para este tipo de progresiones:

aₙ = a₁ + (n-1) × d

En este caso ocurre que  aₙ = a₆ = 12 y por tanto  n=6 ... y despejo a₁ ...

a₁  =  aₙ - (n-1) × d  =   12 - (6-1) × 3 = 12 - 15 = -3

Conociendo el valor del primer término de esta progresión ya se puede volver a usar la misma fórmula para conocer el valor de cualquier término de la misma según el lugar "n" que ocupe en ella. Para ello sustituiré sólo los valores del  "a₁"   y de  "d".

aₙ = -3 + (n-1) × 3

aₙ = -3 + 3n - 3

aₙ = 3n - 6  ... y aquí tenemos la respuesta a la primera cuestión.

Para saber el valor del término nº 500, es decir, el que ocupa el lugar nº 500 en esta progresión, tan solo hemos de sustituir "n" por ese valor en la fórmula que acabo de obtener.

a₅₀₀ = 3 × 500 - 6 = 1500 - 6 = 1494

a₅₀₀ = 1494  ... y aquí la respuesta a la segunda cuestión.

Para saber la suma  Sₙ  de esos primeros 500 términos se acude a la fórmula al efecto que dice:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Sustituyo valores y tenemos:

$S_{500} =\dfrac{(-3+1494)*500}{2}=372750$

Y ahí tenemos el la solución a la tercera cuestión.

Saludos.