En una fábrica hacen blusas y sacos para la confección de cada blusa de ocupa 10 minutos de la máquina A y 15 minutos de la máquina B para cada sacó se ocupa 15 minutos la máquina A y 18 minutos la máquina B la máquina A no puede utilizarse más de 12 horas al día y la máquina B más de 16 horas Si las blusas dejan una ganancia de 200 dólares y los sacos una de 400 dólares Cuántas composiciones deben hacerse diariamente para obtener la mayor ganancia?
Respuestas a la pregunta
Respuesta: 0 blusas y 48 sacos , ganancia máxima de $19200✔️
Explicación paso a paso:
Llamaremos x , y al número de blusas y sacos respectivamente.
La función objetivo que es la ganancia depende del número de blusas y sacos producidos:
Z(x,y) = $200·x + $400·y
Tenemos varias restricciones del tiempo de uso de cada máquina para cada prenda.
Para usar las mismas unidades, pasamos los tiempos a horas:
10 minutos = 10minutos·1hora/60minutos = 1hora/6
15 minutos = 15minutos·1hora/60minutos = 1hora/4
18 minutos = 18minutos·1hora/60minutos = 3hora/10
Nos dicen el tiempo que ocupa cada prenda las máquinas:
La máquina A en total no se puede utilizar más que 12 horas al día.
Cada blusa utiliza 1hora/6 de la máquina A y 1hora/4 de la máquina B
Cada saco utiliza 1hora/4 de la máquina A y 3hora/10 de la máquina B
Como el uso de la máquina A tiene un límite diario de 12 horas diarias:
{x/6 + y/4 ≤ 12 horas} restricción (I)
Como el uso de la máquina B tiene un límite diario de 16 horas diarias:
{x/4 + 3y/10 ≤ 16 horas} restricción (II)
Como el número de prendas fabricadas no puede ser negativo y tienen que ser enteros positivos, tendremos dos restricciones más:
{x ≥ 0}
{y ≥ 0}
Como las dos variables son enteros positivos, solo utilizaremos el primer cuadrante. Para hallar el conjunto de soluciones factibles vamos a representar gráficamente en el plano cartesiano las restricciones.
Representamos gráficamente la restricción 1
Representamos la recta x/6 + y/4 = 12 (I)
En esta recta cuando x = 0, y = 4·12 = 48
En esta recta cuando y = 0, x = 6·12 = 72
recta (I) y = 4(12 -x/6)
recta (I) y = -2x/3 + 48
Representamos la restricción 2
Representamos la recta x/4 + 3y/10 = 16 (II)
En esta recta cuando x = 0, y = 10·16/3 = 160/3
En esta recta cuando y = 0 , x = 4·16 = 64
recta (II) y = 10(16 -x/4)/3
recta (II) y = -5x/6 + 160/3
La región factible es la señalada en amarillo bajo las dos rectas de restricción
Coordenadas de los vértices de la región factible:
Punto A punto de corte de la recta (I) con el eje de ordenadas
A(0,48)
Punto B punto de intersección de las rectas (I) y (II)
B(32,80/3)
Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (I) y (II)
y = -2x/3 + 48 (I)
y = -5x/6 + 160/3 (II)
Igualamos ambas expresiones que son iguales a y
-2x/3 + 48 = -5x/6 + 160/3
-2x/3 +5x/6 = 160/3 -48
(-4x +5x)/6 = (160 -144)/3
x/6 = 16/3
x = 6·16/3 = 32 , esta es la abscisa del punto de intersección
y sustituyendo este valor en la ecuación (I)
y = -2x/3 + 48
y = -2·32/3 + 48 = -64/3 + 48 = (-64 +3·48)/3 = (-64+144)/3 = 80/3
El punto de intersección es: B(32,80/3)
Punto C punto de corte de la recta (II) con el eje de abscisas
C(64,0)
Sustituyendo estos tres vértices de la zona factible en la función objetivo, determinamos cual es la máxima ganancia:
Z(x,y) = $200·x + $400·y } Función objetivo
A(0,48)
Z = $200·0 + $400·48 = $19200 , máxima ganancia
y = 48 ; Z = $19200
B(32,80/3)
Z = $200·32 + $400·80/3 = $6400 + $10666 = $17066
C(64,0)
Z = $200·64 + $400·0 = $12800
Vemos que la máxima ganancia con las restricciones impuestas se produce en el punto A(0,48)
Es decir que fabricando 0 blusas y 48 sacos conseguiremos $19200 de ganancia
Z(x,y) = $400·48 = $19200 } ganancia máxima
Respuesta: 0 blusas y 48 sacos , ganancia máxima de $19200✔️
Verificar
Comprobamos el tiempo de uso de las máquinas:
Máquina A
{x/6 + y/4 ≤ 12 horas} restricción (I)
0/6 + 48horas/4 = 12 horas,✔️máximo tiempo permitido.
Máquina B
{x/4 + 3y/10 ≤ 16 horas} restricción (II)
0/4 + 3·48horas/10 = 14'4 horas < 16 horas✔️menos del máximo tiempo.
Michael Spymore
