Question

En un auditorio hay menos de 700 personas. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 o de 12 en 12 siempre sobran 5; pero si se cuenta de 11 en 11 no sobra ninguna. ¿Cuántas personas hay?

Answer 1

siendo el número $N$ y $N<700$ y $N$ es múltiplo de 11.

cuando dice que al número se lo cuenta en 6, 8, 10,12 sobran 5 entonces $(N-5)$ es múltiplo de 6,8,10 y 12

entonces tenemos que encontrar el mínimo común múltiplo de los números.

descomposición de los números:
$\\ 6 = 2 \times 3 \\ \\ 8 = {2}^{3} \\ \\ 10 = 2 \times 5 \\ \\ 12 = {2}^{2} \times 3$
entonces el mínimo común múltiplo es: $2^3\times 5\times 3=120$

ahora todos los multiplos de 120 también son multiplos de 6,8,10 y 12.

multiplos de 120: $120,240,360,480,600,720,...$

como el $N<700$ se descarta 720, elijo el 600 porque es el más cercano a 700.

entonces: $N-5=600 \Rightarrow N=605$

comprobar si $N$ es múltiplo de 11 $\Rightarrow \frac{605}{11}=55 \Rightarrow da\ resto \ cero$

Respuesta: Hay 605 personas