Question

En negocios, un índice de utilidad U es una función que pro-

duce una medida de la satisfacción obtenida a partir de la

compra de cantidades variables, x y y, de dos productos que

se venden regularmente. Si U(x, y) = x^1/3 y^2/3 ess un índice de utilidad, encuentre sus extremos sujetos a x+6y=18

Answer 1

Si    x  =  6    ^    y  =  2    se maximiza el índice de utilidad por la compra de los dos productos.

Desarrollo de la respuesta:  

Los valores máximos y mínimos de una función con restricciones se obtienen usando el método de los multiplicadores de Lagrange.

El método inicia por la construcción de una función L, compuesta por la suma de la función objetivo, índice de utilidad (U), y el producto de la función restricción, g = 0, por el multiplicador de Lagrange α

L  =  U  +  αg

En el caso planteado:  

g  =  x  +  6y  = 18

$\bold{U~=~x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} \qquad \qquad g~=~x~+~6y~-~18~=~0}$

$\bold{L~=~x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}~+~\alpha(x~+~6y~-~18)}$

Luego se hallan los extremos de L, los cuales coinciden con los extremos de la función objetivo U, pero con una dimensión menos.

Primero, hallamos los puntos críticos de L. Esto es derivar L con respecto a cada una de sus variables e igualar a cero todas ellas. Los puntos que satisfacen ese sistema de ecuaciones son los puntos críticos de L.

$\left \{ {{L_{x}~=~(\frac{1}{3})x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}~+~\alpha~=~0}\\ \atop \left\L_{y}~=~(\frac{2}{3})x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}}~+~6\alpha~=~0} \atop {L_{\alpha }~=~x~+~6y~-~18~=~0 }} \right. }\right.$

La solución del sistema arroja un punto crítico:  

x  =  6

y  =  2

Segundo, construimos el Hessiano o determinante formado por derivadas de segundo orden que nos permitirán decidir si el punto crítico es un mínimo, Hessiano negativo, o un máximo, Hessiano positivo.

$H=\left[\begin{array}{ccc}0&g_{x}&g_{y}\\g_{x}&L_{xx} &L_{xy}\\g_{y}&L_{yx}&L_{yy}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&1&6\\1&-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}y^{\frac{2}{3}}&\frac{2}{9}x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}}\\6&\frac{2}{9}x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}}&-\frac{2}{9}x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{4}{3}}\end{array}\right]$

$\bold{H=\frac{8}{3}x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}}+8x^{-\frac{5}{3}}y^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{9}x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{4}{3}}}$

Tercero, evaluamos H en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

H(6, 2)  >  0  (positivo)    ⇒     U tiene un máximo en el punto (6, 2)

Conclusión:

Si    x  =  6    ^    y  =  2    se maximiza el índice de utilidad por la compra de los dos productos.

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