Matemáticas, pregunta formulada por lucila2015, hace 1 año

EN LA IMAGEN ESTA LA ECUACION HIPERBOLA!!
Deducir la ecuación de la hipérbola:

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
28
\text{Si }c\ \textgreater \ a\ \textgreater \ b\text{ entonces: } c^2=a^2+b^2\\ \\
\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm2a\\ \\
\left(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2=(\pm2a)^2\\ \\
(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2-2\sqrt{[(x-c)^2+y^2][(x+c)^2+y^2]}=4a^2\\ \\

(x-c)^2+(x+c)^2+2y^2-2\sqrt{[(x^2+c^2+y^2)-2xc][(x^2+c^2+y^2)+2xc]}=4a^2\\ \\
2x^2+2c^2+2y^2-2\sqrt{[(x^2+c^2+y^2)-2xc][(x^2+c^2+y^2)+2xc]}=4a^2\\ \\
\sqrt{(x^2+c^2+y^2)^2-(2xc)^2}=2a^2-x^2-y^2-c^2\\ \\
\sqrt{(x^2+y^2+c^2)^2-(2xc)^2}=2a^2-(x^2+y^2+c^2)\\ \\

(x^2+y^2+c^2)^2-(2xc)^2=[2a^2-(x^2+y^2+c^2)]^2\\ \\
(x^2+y^2+c^2)^2-(2xc)^2=4a^4+(x^2+y^2+c^2)^2-4a^2(x^2+y^2+c^2)\\ \\
-(2xc)^2=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)\\ \\
-x^2c^2=a^4-a^2x^2-a^2(y^2+c^2)\\ \\

a^4+(c^2-a^2)x^2-a^2(y^2+a^2+b^2)=0\\ \\
b^2x^2-a^2(y^2+b^2)=0\\ \\
b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\\ \\
\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}

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