Matemáticas, pregunta formulada por lucila2015, hace 1 año

cALCULAR LAS SIGUIENTES SUMATORIAS:

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Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
6
\text{Sea }\\ \\
S(n)=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}(k-1)^2\\ \\
\text{Apliquemos la ley telesc\'opica a esta suma:} \\ \\
\sum\limits_{k=1}^n\left[(-1)^{(k+1)+1}[(k+1)-1]^2-(-1)^{k+1}(k-1)^2\right]=(-1)^{n+2}n^2-(-1)^{1+1}(1-1)^2\\ \\

\sum\limits_{k=1}^n\left[(-1)^{k}k^2+(-1)^{k}(k-1)^2\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\
\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\left[k^2+(k-1)^2\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\
\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\left[2k^2-2k+1\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\
\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\left[(2k-1)^2+1\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\

\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2+ \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}=(-1)^{n}n^2\\ \\
\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2+ \dfrac{(-1)^n-1}{4}=(-1)^{n}n^2\\ \\
\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2=(-1)^{n}\left(n^2-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\\ \\
\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2=(-1)^{n}\left(2n^2-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\\ \\
\boxed{\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}(2k-1)^2=(-1)^{n}\left(\dfrac{1}{2}-2n^2\right)-\dfrac{1}{2}}

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