Question

En la figura:
Se muestra a continuación, el poste
mide 30 m, PQ =70 m y los ángulos P Y
Q miden 37° y 45° respectivamente.

¿Qué cantidad de cable será
necesario como mínimo para fijar
dicho poste a los puntos P y Q?
a) 94,5 m b)92,4 m c) 90 m d) n.a

Answer 1

La cantidad de cable mínima necesaria para fijar el poste a los puntos P y Q es de 92.4 metros

La opción correcta es la b

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del poste (AB) secciona al triángulo PAQ en dos triángulos rectángulos:

Teniendo el triángulo rectángulo ABP donde el lado PB representa el plano del suelo desde donde se sujetará uno de los cables en P hasta donde se halla el poste en el piso, el lado AP que equivale a la longitud de uno de los cables que irá de P a la cima del poste en A y es a la vez un ángulo de elevación de 37°

Y el triángulo rectángulo ABQ en donde el lado BQ representa el plano del suelo desde donde se fijará el otro cable en Q hasta donde se ubica el poste en tierra, el lado AQ que equivale a la longitud del otro cable que irá de Q a la parte superior del poste en A y es a la vez un ángulo de elevación de 45°

En donde para ambos triángulos rectángulos la altura del poste es el cateto opuesto para los respectivos ángulos de 37° y 45° y cada una de las hipotenusas de cada uno de los dos triángulos representan la longitud de cada uno de los cables

Habiendo hallado ambas hipotenusas la sumatoria de ambas longitudes nos dará la cantidad de cable mínimo necesario para fijar el poste en los puntos P y Q

Solución

Emplearemos razones trigonométricas con ángulos notables

Trabajamos en el triángulo PAB

Hallamos la longitud de uno de los cables -Cable 1-

Relacionamos los datos con el seno del ángulo α  $\bold{\alpha = 37^o }$

$\boxed{\bold { sen(37)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed{\bold { sen(37)^o = \frac{ altura\ poste \ }{longitud\ cable \ 1 } } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 1 = \frac{ altura\ poste \ }{ sen(37)^o } }}$

Como tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { sen(37)^o = \frac{3 }{5} } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 1 = \frac{ 30\ m \ }{ \frac{3}{5} } }}$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 1 = 30 \ m \ . \ \frac{ 5 }{ 3 } }}$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 1 = \not 3 \ . \ 10 \ m \ . \ \frac{ 5 }{ \not 3 } }}$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 1 = \ 10 \ m \ . \ 5 }}$

$\large\boxed{\bold { longitud\ cable \ 1 = 50 \ metros } }$

La longitud del cable 1 - que va desde P al extremo superior del poste- es de 50 metros

Trabajamos en el triángulo ABQ

Hallamos la longitud del segundo cable -Cable 2-

Relacionamos los datos con el seno del ángulo β  $\bold{\beta = 45^o }$

$\boxed{\bold { sen(45)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed{\bold { sen(45)^o = \frac{ altura\ poste \ }{longitud\ cable \ 2 } } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = \frac{ altura\ poste \ }{ sen(45)^o } }}$

Como tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { sen(45)^o = \frac{\sqrt{2} }{2} } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = \frac{ 30\ m \ }{ \frac{\sqrt{2} }{2} } }}$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = 30 \ m \ . \ \frac{ 2 }{ \sqrt{2} } }}$

Operamos para quitar la raíz del denominador

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2= 30 \ m \ . \ \frac{2}{ \sqrt{2} } \ .\ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = 30 \ m \ . \ \frac{2 \sqrt{2} }{( \sqrt{2})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = 30 \ . \ \frac{2 \sqrt{2} }{2 } \ metros } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = \not2 \ . \ 15 \ . \ \frac{2 \sqrt{2} }{\not2 } \ metros } }$

$\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = 15 \ . \ 2 \ \sqrt{2} \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { longitud\ cable \ 2 = 30\sqrt{2} \ metros = 42.4 \ metros } }$

Concluyendo que si se tiene un triángulo notable de 45-45 y se conoce el valor de sus catetos, -los cuales miden lo mismo- para hallar el valor de la hipotenusa, basta multiplicar la medida de un cateto por √2

Hallamos la cantidad mínima necesaria de cable para fijar el poste a los puntos P y Q

$\large\boxed{\bold {longitud\ cable \ total = longitud\ cable \ 1 + longitud\ cable \ 2 } }$

$\boxed{\bold {longitud\ cable \ total = 50\ m + 42.4 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {longitud\ cable \ total = 92.4 \ metros } }$

La cantidad de cable mínima necesaria para fijar el poste a los puntos P y Q es de 92.4 metros

Nota: Como nos han dicho que la distancia PQ es de 70 metros, podemos determinar las distancias sobre la línea de suelo hasta el poste.

Como el triángulo de la derecha es de 45° sus catetos tienen la misma dimensión, luego como la altura del poste es de 30 metros la distancia desde Q hasta la base del poste será de 30 metros

Y al tener una distancia total de 70 metros, la distancia de la base del poste al punto P será de 40 metros

Se adjunta gráfico