Exámenes Nacionales, pregunta formulada por ixibixi81811, hace 1 año

En la circunferencia de la figura adjunta los puntos A, B, D y F pertenecen a ella,AC y BF se intersectan en E, el punto D está en AC y CBes tangente a la circunferencia en B. Si EF = 5 cm, ED = 3 cm, AE = 2 cm y CB = 6 cm, entonces(DC + EB) es igual a


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Contestado por MajoRGimenez
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Si EF = 5 cm, ED = 3 cm, AE = 2 cm y CB = 6 cm, entonces (DC + EB) es igual a 26/5cm, opción C.

Para hallar las medidas de EB y DC se aplica la relación entre los segmentos de las cuerdas AD y BF de la circunferencia y la relación entre la secante AC y la tangente BC a la circunferencia.

Para ello se aplica la relación definida  "en una circunferencia donde las cuerdas SQ y PR se intersectan en el punto M se cumple que SM . MQ = PM . MR siendo en este caso

EF.EB = AE . ED

Sustituyendo valores tenemos que:

5.EB = 2 x 3

EB = 6/5 cm

Luego en una circunferencia donde la secante PR se intersecta con la tangente PS en el punto P, se cumple que PS² = PQ . PR

Para este caso sería

CB² = DC . AC

Pero AC está formada por AE+ED +DC, donde AE+ED equivale a 5cm.

Sustituyendo los valores tenemos:

CB² = DC . AC

CB² = DC (AE+ED+DC)

6^{2} = DC (5+DC)

36 = 5DC + DC²

DC²+ 5DC - 36 = 0

Factorizando tenemos:

(DC + 9)(DC - 4) = 0

Por lo que los valores de DC pueden ser:

DC = -9  

DC = 4

Si DC = 4 entonces:

DC + EB = 4 + 6/5

DC + EB = 26/5, por lo que la opción correcta es la opción C.

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