En la capital de la primavera y de la marinera existe un lugar a quince minutos de la ciudad de Trujillo, es el distrito de El Porvenir. En sus calles se respira olor a cuero, pues según datos estadísticos de la Gerencia de Desarrollo Económico Local, el 70% de la economía de ese lugar se mueve en base a la manufactura con la confección y fabricación del calzado. Sebastián lleva 26 años, de los 58 que tiene, inmerso entre cueros, tacos, badanas y otros implementos que a diario forman parte de su labor que lo inició de manera informal y como operario. Hoy que administra su propia microempresa, identifica que la demanda mensual “x”, de un cierto tipo de calzado al precio de “p” dólares por unidad están relacionados por la expresión: x=1350-45p. El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica el calzado es de $5 por unidad y el costo fijo es de $2000 al mes.
Determine:
a) El precio del calzado para obtener el máximo ingreso y a cuánto ascendería ese ingreso máximo.
b) El precio que debe tener el calzado, si el fabricante de ese artículo desea obtener la máxima utilidad total mensual. Además, encontrar la utilidad máxima mensual.
c) La gráfica de la utilidad total mensual U(p) (tabule).
Respuestas a la pregunta
El precio para obtener un ingreso máximo debe ser 15 dólares y el precio para la máxima ganancia mensual debe ser 17,5 dólares
Pregunta a)
Tenemos que la demanda es de
x = 1350 - 45*p
Para obtener la ingreso multiplicamos por el precio
I = (1350 - 45*p)*p
I = 1350p - 45p^2 --------- > Y = ax^2 + bx + c
Para tener ganancia máxima debemos hallar la máximo precio
p = -b/2a
p = - 1350/(2* -45)
p = 15
Así que 15 seria el precio máximo. Ahora hallamos el ingreso máximo sustituyendo 15 en la ecuación de I
Imax = 1350* 15 - 45(15)^2
Imax = 10125
Pregunta b)
Buscamos máxima utilidad
Utilidad = Precio - Costo
Utilidad = (1350 - X)X/45 - (5X + 2000)
Utilidad = 30X - X^2/45 - 5X + 2000
Utilidad = - X^2/45 +25X + 2000
Derivamos
utilidad ' = -2/45 *X + 25
Igualamos a 0
0 = -2/45 *X + 25
X = 25*45/2
X = 562,5
Este seria la cantidad de productos máximos
Sustituimos en la ecuación del precio
562,5 = 1350 - 45p
45p = 787,5
p = 17,5