Question

En el triángulo pqr de la figura,el punto s divide a pq en la razón 2 1. T es el punto de por tal que

el área de pst es la mitad del triángulo pqr.?en qué razón divide t a pr?

Answer 1

La figura adjunta es la del problema, el punto T divide al lado PR en la relación 3:1.

Explicación paso a paso:

Si el punto S divide a PQ en la razón 2:1, esto significa que el segmento PS es dos veces más largo que el segmento SQ. O lo que es lo mismo:

PS=2SQ

SQ=SP/2

SP+SP/2=PQ

PQ=3/2SP

SP=2/3PQ

El área de PQR es:

$A_1=\frac{RP.PQ}{2}sen(\alpha)$

Y el área de PST es:

$A_2=\frac{TP.SP}{2}.sen(\alpha)$

Si el área de PST es la mitad del área de PQR, igualamos las dos expresiones:

$A_2=\frac{A_1}{2}\\\\\frac{TP.SP}{2}sen(\alpha)=\frac{RP.PQ}{4}sen(\alpha)\\\\\frac{TP.SP}{2}=\frac{RP.PQ}{4}\\\\SP=\frac{2}{3}PQ=>\frac{TP.PQ}{3}=\frac{RP.PQ}{4}\\\\TP=\frac{3}{4}RP$

Podemos poner a PR en términos de TP:  

RP=4/3TP

-RP=TP+TP/3=>RT=TP/3  

Así concluimos que T divide a PR en la relación 3:1.