Question

En el t=0 un paracaidista que tiene un peso de magnitud "mg" está situado en z=0 y se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad Vo, si la fuerza o resistencia del aire que actúa sobre el paracaidista es perpendicular a la rapidez instantánea.

a) Hallar la rapidez
b) Hallar la distancia

Answer 1

Solución:

a) Consideremos como una partícula de masa "m", esta situación a una distancia "z" del origen, si "k" es un vector unitario en la dirección vectorial hacia abajo.

*Por la ley de Newton:
                                       ma = ∑ F

m $\frac{dv}{dt}$ k = (mg - Bv) k.....(1)

m $\frac{dv}{dt}$ = mg - Bv

$\frac{mdv}{mg - Bv}$ = dt

*Integrando:
                      $\int\limits \frac{mdv}{mg - Bv} = \int\limits dt$
                      - $\frac{m}{B}$ ㏑(mg - Bv) = t + C₁.....(2)

*como V = Vo cuando t = 0, en efecto:
                      - $\frac{m}{B}$ ㏑(mg - Bvo) = C₁.....(3)

*Luego (3) en (2), resolviendo nos quedaría:
                       v = $\frac{mg}{B}$ + $(Vo - \frac{mg}{B})$ $e^{ -\frac{Bt}{m}}$.....(4)



b) Para encontrar la distancia recorrida de (4) tenemos $\frac{dv}{dt}$ = v = $\frac{mg}{B}$ + $(Vo - \frac{mg}{B})$ $e^{ -\frac{Bt}{m}}$; entonces integramos:

$\int\limits \frac{dv}{dt} = \int\limits \frac{mg}{B} + (Vo - \frac{mg}{B}) e^{ -\frac{Bt}{m}} dt$ 

$z = \frac{mgt}{B} - \frac{B}{m} (Vo - \frac{mg}{B}) e^{ -\frac{Bt}{m}} +$ C₂.....(5)

*Como z = 0, cuando t = 0:
                                             C₂ = $\frac{B}{b} (Vo - \frac{mg}{B})$.....(6)

*Luego (5) en (6), tenemos:
                                               $z = \frac{mgt}{B} + \frac{m}{B} (Vo - \frac{mg}{B}) (1- e^{ -\frac{Bt}{m}})$  



Eso sería todo, un poco extenso y complicado, pero no imposible, espero te haya servido :)