Question

en cuanto hay que disminuir el primer factor y aumentar el segundo del producto de 12.15 para que la multiplicación disminuya en 10

Answer 1

Se trata de un mismo número que hay que disminuir el 12 y aumentar el 15.
El producto original es: 12×15 = 180

El ejercicio me pide que después de disminuir el 12 y aumentar el 15, el resultado debe darme 10 unidades menos, o sea, 170

Pues a simple vista ya se aprecia que si yo disminuyo el 12 en 2 unidades me queda 10 ... y ahora me pregunto, qué número tengo que usar como multiplicador de 10 para que me dé 170??? Pues justamente el 17, es decir que tengo que aumentar 2 unidades al 15 de tal modo que el nuevo producto para que se cumpla la condición será:

(12-2)×(15+2) = 10×17 = 170

Y la respuesta al ejercicio es 2
-----------------------------------------------------------------------
Si se llega a entender el enunciado desde el principio como que se trata de un mismo número, entonces puede plantearse una sencilla ecuación:

(12-x)·(15+x) = 170 -----> 180 +12x -15x -x² = 170 ----> x² +3x -10 = 0

Al resolver por fórmula general...

x₁ = (-3+7) / 2 = 2
x₂ = (-3-7) / 2 = -5

Como ves, el primer resultado es el que había deducido por la cuenta de la vieja
El segundo resultado es negativo pero también cumplirá la condición si operamos algebraicamente porque a ver...
12 - (-5) = 12+5 = 17
15 + (-5) = 15-5 = 10

Y se comprueba que nos salen los mismos factores que usando el 2, es decir que este ejercicio tiene dos soluciones en el campo de los números enteros.

Saludos.