¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = a * b?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en I y en III
E) En I, en II y en III
#PSU
Respuestas a la pregunta
Los triángulos, en donde se cumple que c² = ab son: C) Sólo en I y en II
Para resolver nombraremos a los lados en blanco con las variables "x" y "y", y usaremos el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos:
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
I. Aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo más grande.
x² + y² = (a + b)² ... (1)
Pero:
x² = a² + c²
y² = c² + b²
Reemplazamos en la primera ecuación:
a² + c² + c² + b² = (a + b)²
2c² = a² + 2ab + b² - a² - b²
2c² = 2ab
c² = ab ... CUMPLE
II) Aplicamos también Teorema de Pitágoras:
c² + y² = a² ... (1)
Pero sabemos también:
y² = (a - b)² + x²
Reemplazamos en la primera ecuación:
c² + y² = a²
c² + (a - b)² + x² = a²
c² + a² -2ab + b² + x² = a² ... (2)
Luego sabemos que:
x² = c² - b²
Reemplazamos en la ecuación (2)
c² + a² -2ab + b² + x² = a²
c² + a² -2ab + b² + c² - b² = a²
2c² = 2ab
c² = ab ... CUMPLE
III) Aplicamos también Teorema de Pitágoras:
y² + b² = c² ... (1)
Pero sabemos también:
y² = (c - a)² + x²
Reemplazamos en la primera ecuación:
y² + b² = c²
(c - a)² + x² + b² = c² ...(2)
Luego sabemos que:
x² = b² - a²
Reemplazamos en la ecuación (2)
(c - a)² + x² + b² = c²
c² + 2ac + a² + b² - a² + b² = c²
2b² = 2ac
b² = ac ... NO CUMPLE
