Question

El volumen de un cubo se incrementa a razón de 10 cm³/min. ¿Qué tan rápido se incrementa el área superficial cuando la longitud de un lado es de 30 cm? Realiza un dibujo que represente el problema.​

Answer 1

Cuando el volumen se incrementa en 10 centímetros cúbicos por minuto, el área superficial se incrementa en 1,33 centímetros cuadrados por minutos.

¿Cómo hallar la rapidez con que se incrementa el área superficial?

Si tenemos la tasa de variación del volumen, tenemos que recordar que su expresión es:

$V=L^3$

Tenemos que poner el área superficial en función del volumen para poder aplicar las derivadas y así hallar la rapidez con que el área varía:

$A=6L^2\\\\V=L^3= > L=V^{\frac{1}{3}}= > A=6.V^{\frac{2}{3}}$

Entonces, aplicando la regla de la cadena podemos calcular la rapidez con que varía el área en función de la rapidez con que varía el volumen:

$\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dV}\frac{dV}{dt}=\frac{2}{3}6.V^{\frac{2}{3}-1}\frac{dV}{dt}=4V^{-\frac{1}{3}}\frac{dV}{dt}$

Tenemos que hallar el volumen cuando la longitud de la arista es de 30 cm y reemplazarlo en esta expresión:

$V=(30cm)^3=27000cm^3$

Entonces, la rapidez con la que varía el área es:

$\frac{dA}{dt}=4.(27000cm^3)^{-\frac{1}{3}}.10\frac{cm^3}{min}=1,33cm^2$

Aprende más sobre la regla de la cadena en https://brainly.lat/tarea/13866245

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