Question

el snowboard es un deporte olímpico desde 1998 y consisten surfear por la nieve en la practica del deporte se da muchos saltos, la altura de los saltos de un deportista de elite se puede modelar por la funcion h(t)=t^2+4t donde h(t)representa la altura del deportista y t representa el tiempo en segundos. determinar:
a) la altura máxima del salto del deportista y el tiempo en alcanzarlo.
b)cuanto tiempo estuvo el deportista en el aire.
c) la altura del deportista al 3er segundo de saltar

Answer 1

Buenos días,

Para iniciar el planteamiento del problema, se debe comprender el significado de la función planteada mediante la cual se modela el salto del atleta, la cual no es más que la ecuación de una parábola, la cual carece de término independiente, que dentro del contexto trabajado, significa que para un tiempo t = 0s, la altura del atleta es nula (cero), de modo que para el tiempo inicial aún no ha iniciado el salto. Ahora bien, para obtener resultados positivos, más por representar distancias y tiempo, para ello la función al menos debió tener un comportamiento h(t)=-t^2+4t, con el término cuadrático negativo, acotación que te hago, una vez esto, procedemos a analizar cada inciso:

(a) Para determinar la altura máxima del salto vasta con definir el vértice de la parábola de característica convexa (con la modificación hecha), para calcular la componente en el eje de las abscisas, se emplea la expresión a mostrar a continuación, donde b y a son los coeficientes de la función cuadrática, de modo que:

$Vt = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2*(-1)} = 2$

Ya con este valor definido, se sustituye dicho valor en la ecuación cuadrática para extraer el valor de h(t), siendo éste igual a 4. Siendo así el vértice (2,4), donde la componente en el eje de las abscisas, representa el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, 2 segundos, y el valor en el eje de las ordenadas es la altura máxima alcanzada, es decir 4 metros.

(b) Para determinar el tiempo que duró en el aire el deportista, es necesario extraer las raíces de la expresión cuadrática, resultando en 2 posibles valores temporales, obteniendo así para a=-1, b=4 y c=0, igualando a cero, dado que serán las alturas donde inicia la práctica hasta culminar nuevamente el salto, tomando altura cero, obteniendo así el tiempo inicial y el final:

$t_{i} = 0s$ y $t_{f} = 4s$

De modo que el deportista estuvo 4 segundos en el aire.

(c) Para conocer la altura del deportista al tercer segundo de saltar, basta evaluar los 3 segundos en la expresión de la altura en función del tiempo, obteniendo así que:

$h(3)=- 3^{2} + 4*3 = 3 m$

Alcanzando una altura de 3 metros a los 3 segundos de iniciado el salto.

Espero haberte ayudado.