Question

El segmento que une los puntos A(-c,0) y B(c,0) es la base de un triangulo.hallar la ecuacion del lugargeometrico generado por le vertice opuesto, de tal manera que, el producto de los otros lados es igual al cuadrado de la mitad de la base AB.

Answer 1

Sea el vértice opuesto C = (x,y). Hallemos cada lado

$L_1=d(A,C)=\sqrt{(-c-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(c+x)^2+y^2}\\ \\ L_2=d(B,C)=\sqrt{(c-x)^2+y^2}$

Medida de la mitad de la base AB $m=c$

Por dato tenemos

                  $\sqrt{(c+x)^2+y^2}\cdot \sqrt{(c-x)^2+y^2}=c^2\\ \\ \sqrt{x^2+y^2+c^2+2xc}\cdot\sqrt{x^2+y^2+c^2-2xc}=c^2\\ \\ \sqrt{(x^2+y^2+c^2)^2-(2xc)^2}=c^2\\ \\ (x^2+y^2+c^2)^2-(2xc)^2=c^4\\ \\ x^4+y^4+c^4+2x^2y^2-2x^2c^2+2y^2c^2=c^4\\ \\ x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2c^2+2y^2c^2=0\\ \\ (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=0\\ \\ (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \begin {cases} \dfrac{(x^2+y^2)^2}{x^2-y^2}=2c^2~,~(x,y)\neq (0,0)\\ \\ (0,0)~,~(x,y)=(0,0) \end{cases} }}$

Una Lemniscata