Question

El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 50 cm y 100 cm respectivamente, con posibles errores de medición en el radio de 0,0625 cm y en la altura de 0,0125 cm. Utilice diferenciales para estimar el error máximo y el error porcentual en el cálculo del volumen del cono.

Answer 1

El error máximo posible que se puede cometer al determinar el volumen del cono circular recto es de  ± 686,875  cm³,  aproximadamente, lo que representa un error porcentual de  0,26%.

¿Qué es un diferencial total?

En una función multivariada, la diferencial total es una función formada por la suma de los diferenciales parciales de la misma.

Los diferenciales parciales son las variaciones producidas en la variable respuesta producto de las variaciones en cada una de las variables independientes. Se calculan por el producto de la derivada parcial con respecto a cada variable y el diferencial de esta variable.

¿Cómo se calcula el Volumen de un cono circular recto?

El volumen  (V)  de un cono circular recto, de radio  (r)  y altura  (h),  se calcula mediante la fórmula:

$\bold{V~=~\dfrac{1}{3}\cdot\pi \cdot r^{2}\cdot h}$

¿Cómo se calcula el error en el cálculo del volumen?

Para este cálculo, aplicamos el concepto del diferencial total; conociendo que el diferencial del volumen depende de las dimensiones y de sus diferenciales.

$\bold{dV~=~\dfrac{\partial V}{\partial r}\cdot dr~+~\dfrac{\partial V}{\partial h}\cdot dh}$

Vamos a calcular las derivadas parciales de la función volumen y aplicar la fórmula, sustituyendo los valores dados para conocer el error en el cálculo del volumen del cono.

$\bold{\dfrac{\partial V}{\partial r}~=~\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r\cdot h }$

$\bold{\dfrac{\partial V}{\partial h}~=~\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2}$

Sustituimos en la diferencial total

$\bold{dV~=~[\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot r\cdot h]\cdot dr~+~[\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2]\cdot dh}$

Sabemos que

• r  =  50  cm            
• dr  =  0,0625  cm
• h  =  100  cm              
• dh  =  0,0125  cm

Evaluamos la diferencial total

$\bold{dV~=~\dfrac{2}{3}\cdot(3,14)\cdot(50)\cdot(100)\cdot(0,0625)~+~\dfrac{1}{3}\cdot(3,14)\cdot(50)^2\cdot(0,0125)~=~686,875~cm^3}$

¿Cómo calcular el error porcentual?

El error porcentual es el porcentaje del volumen que representa el error máximo. Para calcularlo usamos una regla de tres simple:

Antes calculamos el volumen

$\bold{V~=~\dfrac{1}{3}\cdot(3,14)\cdot(50)^{2}\cdot(100)~=~261666,6666~~cm^3}$

Si  261666,6666  cm³  representa el    ----------------    100%

         686,875  cm³  representará el    ----------------    x  %

x  =  [ ( 686,875 ) ( 100 ) ] / ( 261666,6666 )  =  0,26%

El error máximo posible que se puede cometer al determinar el volumen del cono circular recto es de  ± 686,875  cm³,  aproximadamente, lo que representa un error porcentual de  0,26%.

Tarea relacionada:

Diferencial total y error                 brainly.lat/tarea/51102890

#SPJ1