Question

El número de bacterias existentes en un cultivo después de t horas es dada por:
a)Encuentre k si se sabe que, después de una hora, la colonia ha aumentado 1,5 veces su población inicial.
b)Encuentre el tiempo que tarda la colonia en cuadruplicar su tamaño.

Answer 1

a)sea la poblacion No
luego de 1h aumenta 1.5 veces entonces :
$n(1.5) = no {e}^{k} = 1.5 \: no$
eliminando no y aplicando logaritmo neperianl:

k ln (e) = ln(1.5)

k=0.4054
b) ahora ya se conoce k y nos dicen que en un tiwmpo t se cuadruplica:

$n(t) = no {e}^{0.4054t} = 4 \: no$
eliminando no y aplicando ln:

0.4054t =ln(4)
t=3.42 horas

Answer 2

Funciones exponenciales:

 

Problema inicial:

El crecimiento de un cultivo de bacterias es tal que a cada hora se duplica el número de las mismas.  En estas condiciones si había 1000 bacterias al iniciar el experimento, el número habrá aumentado a 2000 después de una hora, 4000 después de dos horas y así sucesivamente.

 

Podemos  registrar este experimento en la siguiente tabla:

 

t

0

1

2

3

4

f(t)

1000

2000

4000

8000

16000

 

donde t es el tiempo en horas y f(t) es el número de bacterias presente en el cultivo  en el tiempo t.

Expresamos el número de bacterias f(t)  1000, 2000, 4000, 8000 y 16000 de la siguiente forma:



Tenemos entonces que    y a este tipo de funciones se las llama funciones exponenciales.

Por ejemplo  nos indica el número de bacterias existentes en el cultivo después de 10 horas de experimento.

En general expresamos una función exponencial como:    con dominio en el conjunto de los números reales  donde , y   a>0; consideramos siempre  pues si a=1 resulta la función constante f(x)=b.

 

1)      Sea a>1 y b=1. Para representar geométricamente las propiedades de la función exponencial, vamos a construir los gráficos de las funciones 

 

En este trabajo no presentamos las tablas dadas por el Mathematica, realizadas por los alumnos, debido a su extensión.

Con las siguientes instrucciones, Mathematica evalúa las funciones generadas por Table, y representa las gráficas correspondientes.

 

Plot[Evaluate[Table[n^x, {n, 2, 3}]], {x,-3,3}, AxesLabel->{x,y}]

 



 

Para lograr gráficos más adecuados utilizaron el comando Show que modifica las siguientes opciones de Plot Axes Origin, AspectRatio, PlotRange, AxesLabel etc.

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Utilizando el programa Derive se realizaron las mismas gráficas: y = 2x  e  y = 3x

 

2)      Consideramos las funciones exponenciales con 0<a<1 y b=1.

 

    Definimos  ,  y construimos gráficos para cada una.

 

AA=Plot[1/2^x, {x, -3, 3}, AxesLabel -> {x,y}];

 

BB=Plot[1/3^x, {x, -3, 3}, AxesLabel -> {x,y}];

 

Usaremos nuevamente el comando Show para representar simultáneamente las dos funciones, previamente designadas con AA y BB, con el siguiente formato:

 

CC=Show[AA, BB]

 



 

 

Con Derive:



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Después de realizar en la práctica una amplia variedad de ejercicios, utilizando ambos software se discute y se llega a las siguientes observaciones:

 

1)      Cualquiera sea la base siempre no nulas, la función toma el valor 1 para x=0; es decir todos los gráficos pasan por el punto (0, 1).

 

2)      La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de x es decir el gráfico se halla por encima del eje de abscisas y no existe ningún valor de x para el cual la función se anula, siendo este eje asíntota horizontal de la función.

 

3)      Si a>1 la función exponencial es creciente, es decir, las ordenadas aumentan al crecer las abscisas y en el caso 0<a<1 la función es decreciente, siendo en ambos casos cóncava hacia arriba.

 

4)      Son funciones biyectivas, siendo el dominio el conjunto de los números reales y el codominio el conjunto de los números reales positivos.

 

 

 

 

Volviendo al problema inicial

 

Representamos el caso en que  ;  por ejemplo el cultivo de bacterias presentado al inicio del tema cuya función exponencial correspondiente   

 

 

Plo[1000*2^t, {t, 0, 4}, AxesLabel -> {x,y}]

 



 

 



Aplicando Derive:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Observamos que f(0) = 1000 lo que indica que inicialmente hay 1000 bacterias en el experimento, es decir la gráfica pasa por el punto (0, 1000).

 

Particularmente importante es la función exponencial   que se lee exponencial de x, y se designa también como exp(x).

Mathematica y Derive la definen como una función elemental con la denominación Exp[x], EXP(x), respectivamente.

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