Question

El gasto de publicidad de películas entre los años 2006 y el 2015, en millones
de soles, según los anuncios en diarios, es modelado por la función:

f (t) = $\left \{ {{0.04t + 0.33 , t\leq5 } \atop {-0.01t + 1.2 , t\ \textgreater \ 5}} \right.$

Donde t es el número de años transcurridos desde el año 2006. Determine si la
función f (t) es continua y en caso de no serlo, identifique el tipo de discontinuidad que ella presenta.

Answer 1

f(t) tiene una discontinuidad inevitable de salto finito cuando  t  =  5    y ese salto vale  1.68.

Explicación paso a paso:

Una función f(t) es continua si t = a si se cumple que:

$t_{(a)}= \lim_{t \to a} f_{(t)}$

En el caso en estudio interesa la continuidad cuando t = 5:

1. f(5)

f(5)  =  0.04(5)  +  0.33  =  0.53

2. Límite cuando t tiende a 5

Aplicaremos límites laterales

$\lim_{t \to 5^-} [0.04t+0.33]=0.53$

$\lim_{t \to 5^+} [-0.01t+1.2]=-1.15$

$\lim_{t \to 5^-} f_{(t)}=0.53 \neq 1.15= \lim_{t \to 5^+} f_{(t)}$

Se concluye que el límite cuando t tiende a 5 no existe.

3. f(5)  =  Límite cuando t tiende a 5

El límite no existe y por tanto la función no es continua cuando t = 5.

Esta discontinuidad se denomina discontinuidad inevitable, ya que la no existencia del límite no es corregible.

Al ser discontinua se dice que la gráfica de la función tiene un salto y, en este caso, puede medirse por la diferencia de los límites laterales:

Salto  =  |LimDer  -  LimIzq|  =  |-1.15  -  0.53|  =  1.68

En definitiva: f(t) tiene una discontinuidad inevitable de salto finito cuando  t  =  5    y ese salto vale  1.68.