El costo de una empresa está modelado por la siguiente ecuación: C = 0,25x² -30x + 4000, donde x es la cantidad producida y vendida. a) Grafique la ecuación de costo en un plano cartesiano e indique su vértice. (3 puntos) b) Indique el costo mínimo y la cantidad que minimiza al costo. (1 punto) El costo de una empresa está modelado por la siguiente ecuación : C = 0,25x² -30x + 4000 , donde x es la cantidad producida y vendida . a) Grafique la ecuación de costo en un plano cartesiano e indique su vértice .
b) Indique el costo mínimo y la cantidad que minimiza al costo.
Respuestas a la pregunta
Una empresa tiene un modelo de costo del cual se obtiene:
a) El vértice de la ecuación costo es:
(30, 3100)
La gráfica se puede ver en la imagen adjunta.
b) El costo mínimo y la cantidad que minimiza al costo es:
- Cmin = 3100
- 60 unidades
¿Qué es la costo?
Es el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.
C = Cv + Cf
¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?
Es la aplicación de derivada una y dos veces hasta para obtener los puntos máximos y mínimos de la función.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico hay un mínimo.
- Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico hay un máximo.
a) ¿Cuál es el vértice de la ecuación costo?
Siendo;
C(x) = 0,25x² -30x + 4000
Coordenada x;
xv = -b/2a
Siendo;
- b = -30
- a = 0,25
Sustitur;
xv = -(-30)/2(0,25)
xv = 60
Evaluar;
C(60) = 0,25(60)² -30(30) + 4000
C(60) = 3100
El vértice es: (60, 3100)
b) ¿Cuál es el costo mínimo y la cantidad que minimiza al costo?
Aplicar primera derivada;
C'(x) = d/dx (0,25x² -30x + 4000)
C'(x) = 0,5x - 30
Aplicar segunda derivada;
C''(x) = d/dx(0,5x - 30)
C''(x) = 0,5 ⇒ Mínimo relativo
Igualar a cero la primera derivada;
0,5x - 30 = 0
0,5x = 30
x = 2(30)
x = 60 unidades
Evaluar x = 60 en C(x);
Cmin = 0,25(60)² - 30(60) + 4000
Cmin = 3100
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