El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?
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RESPUESTA:
Para resolver este ejercicio debemos derivar el igualar a cero y obtener el valor de X, tenemos que:
x² - 10x + 20y - 15 = 0
Derivando implícitamente tenemos:
2x -10 + 20y' = 0
Despejamos la derivada el igualamos a cero, tenemos:
(-2x+10)/20 = y'
-2x + 10 = 0
x = 5
Buscamos el valor de Y que representa la altura.
(5)² -10(5) +20y -15 = 0
y = 2
Por tanto, la altura máxima a la que llegará el chorro será de 2 metros de altura.
Ahora debemos completar un trinomio cuadrado perfecto, para esto tomamos a 10 que acompaña a x de exponente 1 y lo dividimos en 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado así:
x^2 - 10x + 25= -20y + 15 + 25
De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x-5)^2 = -20y + 40
Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x-5)^2 = -20(y - 2)
x^2 - 10x + 25= -20y + 15 + 25
De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x-5)^2 = -20y + 40
Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x-5)^2 = -20(y - 2)
Como vemos la ecuación es igual a la de la parábola, con esto podemos hallar su vértice (h,k), entonces:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
-h = -5
h = 5
-k = -2
k = 2
Sabemos que el punto vértice es (5,2)
Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:
4p = -20
p = (-20) / 4
p = -5
Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
-h = -5
h = 5
-k = -2
k = 2
Sabemos que el punto vértice es (5,2)
Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:
4p = -20
p = (-20) / 4
p = -5
Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
Me sigues sin convencer con ese procedimiento, un 20 que divide lo estas desapareciendo muy fácil pasándolo a operar con el cero.
Si notas la naturaleza del ejercicio y los datos proporcionados se ve que se realiza con la ecuación de la parábola, eso le da 100% de credibilidad al proceso, ademas que así lo amerita el ejercicio aunque no se diga en el enunciado.
Si notas la naturaleza del ejercicio y los datos proporcionados se ve que se realiza con la ecuación de la parábola, eso le da 100% de credibilidad al proceso, ademas que así lo amerita el ejercicio aunque no se diga en el enunciado.
Si, se deja a muchas interpretaciones, sin embargo se debe usar el método adecuado, y respondiendo a tu pregunta, no eliminaría ese 20, sencillamente porque no usaría tu método.
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Sabemos que la ecuación de la parábola es:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Para dejar la ecuación presente como ecuación de la parábola debemos dejar a un lado las x y después del igual los demás términos, así:
x^2 - 10x + 20y - 15 = 0
x^2 - 10x = -20y + 15