Question

Ejercicios 1. Variables Separables.
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo).
$\left(e^{-y}+1\right)\sin{x}dx=\left(1+\cos{x}\right)dy,\ \ y\left(0\right)=0$

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)
$\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{-x}{y-2x}$

Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas.

Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)
$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2xy^2-x^2}$

Answer 1

1.

$\left(e^{-y}+1\right)\sin{x}dx=\left(1+\cos{x}\right)dy,\ \ y\left(0\right)=0\\ \\\dfrac{\sin x}{1+\cos x}dx=\dfrac{dy}{e^{-y}+1}\to \textit{Separamos las mismas variables a cada lado}\\ \\ \\ \displaystyle\,\int\dfrac{\sin x}{1+\cos x}dx=\int\dfrac{dy}{e^{-y}+1}\to\textit{integramos a cada lado}\\ \\ \\-\ln|1+\cos x|+\ln|c_0|=\ln|e^{y}+1|\\\\\ln \left|\dfrac{c_0}{1+\cos x}\right|=\ln|e^{y}+1|\\\\\\\dfrac{c_0}{1+\cos x}=e^{y}+1$

$(e^{y}+1)(1+\cos x)=c_0\\ \\(e^{0}+1)(1+\cos 0)=c_0\to\textit{Evaluando en el valor inicial}\\\\c_0=4\\\\\boxed{(e^{y}+1)(1+\cos x)=4} \to\text{Soluci\'on de la EDO}$

2. en las edo homogéneas se suele hacer la sustitución z = y/x, donde

y = zx ------ y' = z'x+z

Sustituimos

$z'x+z=-\dfrac{1}{z-2}\to z'x=-\dfrac{1}{z-2}-z\to z'x=-\dfrac{z^2-2z+1}{z-2}\\ \\ \\\dfrac{z-2}{z^2-2z+1}dz=\dfrac{1}{x}dx\to \textit{EDO separable}\\ \\\\\displaystyle\,\int\dfrac{z-2}{z^2-2z+1}dz=\int\dfrac{1}{x}dx\\ \\ \\\int \dfrac{1}{z-1}-\dfrac{1}{(z-1)^2}~dz=\ln|x|\\ \\ \\\ln|z-1|+\dfrac{1}{z-1}+C=\ln|x|\\\\\text{Resustituyendo}\\\\\ln|\dfrac{y}{x}-1|+\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}-1}+C=\ln|x|\\ \\ \\\boxed{\ln|y-x|-2\ln|x|+\dfrac{x}{y-x}+C=0}$

3. No es una EDO exacta ni se puede convertir en una EDO exacta