Question

Ejercicio a:
(2x⁴+5x³+4x²-x-1) % (2x+1)

Ejercicio b:
(x³+x²+x-3) % (x-1)

Tema: División de polinomios
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Answer 1

Ejercicio a. (2x⁴+5x³+4x²-x-1) ÷ (2x+1)

Para estos problemas aplicaremos el Método de Ruffini, por ello necesitamos que:

     ✔ El dividendo sea un polinomio completo y ordenado.

     ✔ El divisor sea un polinomio de primer grado.

        $\sf{\dfrac{\overset{\overset{\boldsymbol{\sf{DIVIDENDO}}}{\vphantom{\big|}\uparrow}}{2\,x^4+5\,x^3+4\,x^2-x-1}}{\underset{\underset{\boldsymbol{\sf{DIVISOR}}}{\vphantom{\big|}\downarrow}}{2\,x+1}}} \qquad \left\{\begin{array}{l}\sf{El\ dividendo\ est\acute{a}\ completo\ y\ ordenado.}\\ \\ \sf{El\ divisor\ es\ de\ primer \ grado.}\end{array}\right.$

Ya que se cumple las 2 condiciones procedemos a realizar el Método de Ruffini, por ello igualamos a 0 el divisor.

                                                    $\begin{array}{c}\sf{2\,x+1=0}\\\\\sf{x=-\dfrac{1}{2}}\end{array}$

Extraemos los coeficientes del dividendo y lo ordenamos de la siguiente manera

                                       $\begin{array}{c|cccc|c}&\sf{2}&\sf{5}&\sf{4}&\sf{-1}&\sf{-1}\\&&&&&\\-\dfrac{1}{2}&&\hphantom{-1}&\hphantom{-2}&\hphantom{-1}&\hphantom{1}\\\rule[2.5pt]{130pt}{0.5pt}\kern-110pt&&&&&\\&\hphantom{2}&\hphantom{4}&\hphantom{2}&\hphantom{-2}&\hphantom{0}\end{array}$

Pasos a realizarse.

1. Bajamos el primer coeficiente del dividendo, siendo este el primero del cociente, luego este valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.
2. Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior hasta llegar al final de las columnas.

                                        $\begin{array}{c|cccc|c}&\sf{2}&\sf{5}&\sf{4}&\sf{-1}&\sf{-1}\\&&&&&\\\sf{-\dfrac{1}{2}}&&\sf{-1}&\sf{-2}&\sf{-1}&\sf{1}\\\rule[2.5pt]{130pt}{0.5pt}\kern-110pt&&&&&\\&\sf{2}&\sf{4}&\sf{2}&\sf{-2}&\sf{0}\end{array}$

Rpta. Entonces tenemos que el cociente es $\sf{2\,x^3+4\,x^2+2\,x-2}$ y el resto, $\sf{0}$.

Ejercicio b. (x³+x²+x-3) ÷ (x-1)

                  $\sf{\dfrac{\overset{\overset{\boldsymbol{\sf{DIVIDENDO}}}{\vphantom{\big|}\uparrow}}{x^3+x^2+x-3}}{\underset{\underset{\boldsymbol{\sf{DIVISOR}}}{\vphantom{\big|}\downarrow}}{x-1}}} \qquad \left\{\begin{array}{l}\sf{El\ dividendo\ est\acute{a}\ completo\ y\ ordenado.}\\ \\ \sf{El\ divisor\ es\ de\ primer \ grado.}\end{array}\right.$

Igualamos a 0 el divisor.

                                                       $\begin{array}{c}\sf{x-1=0}\\\\\sf{x=1}\end{array}$

Extraemos los coeficientes del dividendo y lo ordenamos de la siguiente manera

                                                $\begin{array}{c|ccc|c}&\sf{1}&\sf{1}&\sf{1}&\sf{-3}\\&&&&\\1&&\hphantom{1}&\hphantom{2}&\hphantom{3}\\\rule[2.5pt]{100pt}{0.5pt}\kern-90pt&&&&\\&\hphantom{1}&\hphantom{2}&\hphantom{3}&\hphantom{0}\end{array}$

Procedimiento

                                             $\begin{array}{c|ccc|c}&\sf{1}&\sf{1}&\sf{1}&\sf{-3}\\&&&&\\\sf{1}&&\sf{1}&\sf{2}&\sf{3}\\\rule[2.5pt]{110pt}{0.5pt}\kern-90pt&&&&\\&\sf{1}&\sf{2}&\sf{3}&\sf{0}\end{array}$

Rpta. Entonces tenemos que el cociente es $\sf{x^2+2\,x+3}$ y el resto es $\sf{0}$.

                                               $\boxed{\sf{\gray{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\blue{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\green{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\purple{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\purple{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\green{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\blue{E}} }\quad\sf{\gray{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$