Question

Ejercicio 3.- Considera las matrices

A =


1 1 1
1 2 3
1 4 9

 y B =


−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1

 .

(a) [1’75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX − B = I (I denota la matriz identidad de orden 3).

(b) [0’75 puntos] Calcula el determinante de la matriz A2B−12015


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       Como $AX - B = I$

 

Entonces, $A^{-1} . A.X - A^{-1}.B = A^{-1}.I$   ⇒  $X = A^{-1}.(B+I)$

 

Calculamos la inversa de A, obteniendo 


$A^{-1} = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}6&-5&1\\-6&8&-2\\2&-3&1\end{array}\right]$


Ahora sustituimos para obtener la matriz X, 


 $X = A^{-1}. (B+I)$ 

$=\frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}6&-5&1\\-6&8&-2\\2&-3&1\end{array}\right] . ( \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{array}\right] -\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right])$

$=\frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}-4&7&1\\6&-8&2\\-2&3&-1\end{array}\right]$

b)       |$|A^2B^{-1}|^{2015}$

Primero calculamos las determinantes individuales 

|A| = 2 

|B| = 4

Luego, 

$|A^2B^{-1}|^{2015}$ = $(|A|^2. |B^{-1}|)^{2015} = (|A|.|A|. \frac{1}{|B|} )^{2015} = (2 . 2 . \frac{1}{4} )^{2015} = 1$