Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.

Dados los puntos A(2, −2, 1), B(0, 1, −2), C(−2, 0, −4), D(2, −6, 2), se pide:

a) (1 punto) Probar que el cuatrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar
la distancia entre los dos lados paralelos.

b) (1 punto) Hallar el área del triángulo ABC.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

Answer 1

a) Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos.

 

Para comenzar se forman los vectores que serán los lados del cuadrilátero.

 

AB = B – A = (0, 1, −2) – (2, −2, 1) = (-2, 3, -3)

 

BC = C – B = (−2, 0, −4) - (0, 1, −2) = (-2, -1, -2)

 

CD = D – C = (2, −6, 2) – (−2, 0, −4) = (4, -6, 6)

 

DA = A – D  = (2, −2, 1) - (2, −6, 2) = (0, -4, -1)

 

Para determinar si existen vectores paralelos, debe existir una constante λ que al multiplicar a uno de los vectores lo convierta en el otro (linealmente dependiente).

 

AB = λ*CD

 

(-2, 3, -3) = λ*(4, -6, 6)

 

λ = -1/2

 

Por lo tanto AB y CD son paralelos.

 

BC = λ*DA

 

(-2, -1, -2)  = λ*(0, -4, -1)

 

BC y DA no son paralelos.

 

Con esto se concluye que el cuadrilátero es un trapecio.

 

Ahora para conocer la altura del trapecio se busca la distancia que hay desde el punto C hasta la recta que pasa por AB.

 

D = |AC x AB| / |AB|

 

El vector AC es:

 

AC = C – A = (−2, 0, −4) - (2, −2, 1) = (-4, 2, -5)

 

AC x AB = (-4, 2, -5) x (-2, 3, -3) = (9, -2, 8)

 

 |AC x AB| = √(9)^2 + (-2)^2 + (8)^2 = √149

 

|AB| = √(-2)^2 + (3)^2 + (-3)^2 = √22

 

D = √149 / √22 = √149/22

 

b) Hallar el área del triángulo ABC.

 

El área del triángulo formado por los puntos A, B y C se calcula de la siguiente forma:

 

Área =  |AC x AB| / 2 = √149 / 2 u^2

 

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.