Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
a) (1 punto) Sea f : R −→ R una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x = −2 es un punto de inflexión de la gráfica de f(x) y que la recta de ecuación y = 16x + 16 es tangente a la gráfica de f(x) en dicho punto, determinar: f(−2), f′ (−2) y f ′′(−2).
b) (1 punto) Determinar el ´área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x) = x 4 + 4x 3 y el eje OX. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II

Answer 1

a) Sea f : R −→ R una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x = −2 es un punto de inflexión de la gráfica de f(x) y que la recta de ecuación y = 16x + 16 es tangente a la gráfica de f(x) en dicho punto, determinar: f(−2), f′ (−2) y f ′′(−2).

 

Por los datos del ejercicio se tiene que el valor de f(-2) es igual al valor de la recta evaluada en -2.

 

Y = 16(-2) + 16 = -16

 

f(-2) = Y = - 16

 

Para calcular f’(-2) hay que saber que la primera derivada en un punto es la pendiente de la recta que es tangente a ese punto, por lo tanto la pendiente de la recta y = 16x + 16 es f’(-2).

 

f’(-2) = 16

 

Dado que en f(-2) hay un punto de inflexión, por teoría se sabe que la segunda derivada de la función en dicho punto es nula.

 

f’’(-2) = 0

 

b) Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x) = x^4 + 4x^3 y el eje OX.

 

Para conocer el área primero se deben encontrar los puntos de corte de la función con el eje X.

 

g(x) = x^4 + 4x^3 = 0

 

x1 = 0

 

x2 = -4

 

Estos son los límites de la función, por lo tanto se plantea una integran que va [-4, 0].

 

∫( x^4 + 4x^3)dx = (x^5 / 5) + (4x^4 / 4)

 

Evaluando en los límites de integración se tiene que:

 

A = (0^5 / 5) + (4*0^4/4) – [(-4)^5 / 5 + 4*(-4)^4 /4] = 256/5 u^2

 

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