Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices: A = (1 λ 0 1 1 2 0 −1 −1 ) , B = ( 0 1 1 1 0 −1 2 1 0 ) , se pide:
a) (1 punto) Hallar el valor de λ para el cual la ecuación matricial XA = B tiene solución única.
b) (1 punto) Calcular la matriz X para λ = 4.
c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz A2B en función de λ. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II.
Muchas gracias de antemano

Answer 1

Esta es la respuesta del ejercicio 2 de la prueba de selectividad de la comunidad de Madrid, convocatoria Jun 2012 - 2013 de Matemática II:

Nos dan las siguientes dos matrices:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&lambda&0\\1&1&2\\0&-1&-1\end{array}\right]$ 

$B = \left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&-1\\2&1&0\end{array}\right]$ 

a) Para encontrar cual es el valor de lambda (λ) para el que la ecuación matricial XA = B tiene solución única, calculamos el determinante de A.

det(A) = λ + 1 = 0
λ = -1

Si λ ≠ -1  ⇒  det(A) ≠ 0  ∴ A es invertible 
                                      ∴ el sistema tiene solución única X = B.A⁻¹  

b) Calculamos la matriz X para λ = 4

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&4&0\\1&1&2\\0&-1&-1\end{array}\right]$

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-2}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{-3}{5} \end{array}\right]$

Luego, sustituyendo en la ecuación matricial 

$X = B. A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&-1\\2&1&0\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-2}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{-3}{5} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&0&-1\\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{11}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{7}{5} & \frac{14}{5} \end{array}\right]$

c) Calcular el determinante para Α²B en función de λ 

det( Α²B ) = det(A).det(A).det(B) = (λ + 1).(λ + 1). -1 = -1(λ + 1)²