Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dadas la matrices:
A = 1 1 a a
a 1 1 a
a a 1 1
a a a 1


X =x
y
z
w

O = 0
0
0
0

se pide:

a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II..

Answer 1

a) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.

 

Para calcular el Det(A) se deben aplicar los siguientes artificios:

 

              |1  1  a  a|                                 |1     1        a          a   |

Det(A) = |a  1  1 a| -> F2 = F2 – a*F1 = |0   1-a   1-a^2   a-a^2|

              |a  a  1 1|      F3 = F3 – a*F1    |0    0     1-a^2   1-a^2|

               |a  a  a 1|     F4 = F4 – a*F1    |0    0     a-a^2   1-a^2|

 

Con esto Det(A) queda:

 

                              (1-a   1-a^2   a-a^2)

Det(A) = (1)(1)^2 * (0     1-a^2   1-a^2)

                              (0     a-a^2   1-a^2)

 

Det(A) = (1 + a)*(1 – a)^3

 

Para los rangos se tiene que:

 

Si a ≠ ±1 => |A| ≠ 0 (rango A = 4)

 

 Si a = 1 => |A| = 0 (rango A = 1)

 

Si a = -1 => |A| = 0 (rango A = 3)

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.