Question

Ejercicio 2 . Calificacion maxima: 3 puntos. a) (2 puntos) Discutir, seg´un los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente: {4x + 3y + (m − 1)z = 0 x − 2y + mz = 1 5x + my + z = 1. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Por favor

Answer 1

Esta es la solución del ejercicio 2 inciso a) de la Prueba de selectividad Madrid Convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II : 

En base al sistema de ecuaciones siguiente

$\left \{ {{4x + 3y + (m+1)z = 0} \atop {x - 2y + mz = 1}} \atop {5x + my + z = 1}} \right$

Analizamos cuales son los valores que puede tomar m para satisfacer el sistema de ecuaciones   
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A  = $\left[\begin{array}{ccc}4&3&m-1\\1&-2&m\\5&m&1\end{array}\right]$  $\left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]$ 
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A  = $-3m^{2} +24m-21 = 0$

Calculando las raíces de la ecuación de segundo grado obtenemos que:

m = 1  y m = 7

En caso de tomar m≠1 y m≠7,  el determinante de la matriz |A| ≠ 0, 
                                            _
y el Rango(A) = 3 = Rango(A), correspondiendo al equivalente de la cantidad de incógnitas que tiene el sistema, por lo que podemos concluir que este sería un sistema determinado.

Si tomamos m = 7:
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A = $\left[\begin{array}{ccc}4&3&6\\1&-2&7\\5&7&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]$

El determinante |A| = 0 

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&-2\end{array}\right]$ = -11 ≠ 0
                             
∴ Rango(A) = 2
 
 Luego, $\left[\begin{array}{ccc}4&3&0\\1&-2&1\\5&7&1\end{array}\right]$ = -24 ≠ 0.
                            __
Por lo que Rango(A) = 3.

Al observar este caso es notorio que el sistema de ecuaciones es incompatible.

Si tomamos m = 1,

$\left[\begin{array}{ccc}4&3&0\\1&-2&1\\5&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]$

Al calcular el determinante |A| = 0.

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&-2\end{array}\right] = -11$

∴ Rango (A) = 2.

Notamos que la Fila tres (F3) de la matriz para este caso es igual a la suma de las filas uno (F1) y dos (F2) (F3 = F1 + F2).
                                   __
Esto hace que Rango(A) = 2, por lo tanto el sistema es considerado compatible pero indeterminado.