Question

Ejercicio 2 . Calificacion maxima: 3 puntos.
a) (2 puntos) Discutir, seg´un los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente: {4x + 3y + (m − 1)z = 0 x − 2y + mz = 1 5x + my + z = 1.
b) b) (1 punto) Resolver el sistema anterior para el caso m = 1.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Muchas gracias

Answer 1

Esta es la solución del ejercicio 2 de la Prueba de selectividad Madrid Convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II : 

Dado el sistema de ecuaciones siguiente

$\left \{ {{4x + 3y + (m-1)z = 0} \atop {x - 2y + mz = 1}} \atop {5x + my + z = 1}} \right$

a) Revisamos cuales son los posibles valores de m para satisfacer el sistema de ecuaciones   
_
A  = $\left[\begin{array}{ccc}4&3&m-1\\1&-2&m\\5&m&1\end{array}\right]$  $\left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]$ 
_
A  = $-3m^{2} +24m-21 = 0$

Calculando las raíces de la ecuación de segundo grado obtenemos que:

m = 1  y m = 7

En caso de tomar m≠1 y m≠7,  el determinante de la matriz |A| ≠ 0,
                                            _
y el Rango(A) = 3 = Rango(A), correspondiendo al equivalente de la cantidad de incógnitas que tiene el sistema, por lo que podemos concluir que este sería un sistema determinado.

Si tomamos m = 7:
_
A = $\left[\begin{array}{ccc}4&3&6\\1&-2&7\\5&7&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]$

El determinante |A| = 0 

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&-2\end{array}\right]$ = -11 ≠ 0
                             
∴ Rango(A) = 2
 
 Luego, $\left[\begin{array}{ccc}4&3&0\\1&-2&1\\5&7&1\end{array}\right]$ = -24 ≠ 0.
                            __
Por lo que Rango(A) = 3.

Al observar este caso es notorio que el sistema de ecuaciones es incompatibles.

Si tomamos m = 1,

$\left[\begin{array}{ccc}4&3&0\\1&-2&1\\5&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0&1&1\end{array}\right]$

Al calcular el determinante |A| = 0.

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&-2\end{array}\right] = -11$

∴ Rango (A) = 2.

Notamos que la Fila tres (F3) de la matriz para este caso es igual a la suma de las filas uno (F1) y dos (F2) (F3 = F1 + F2).
                                   __
Esto hace que Rango(A) = 2, por lo tanto el sistema es considerado compatible pero indeterminado. 

b) Ahora resolvamos el sistema de ecuaciones para el caso donde m = 1, considerando que la F3 es el resultante de F1 + F2,


$\left \{ {{4x + 3y = 0} \atop {x - 2y + z = 1}} \right$ 

Usando el despeje y la sustitución obtenemos que:

⇒ $\left \{ {{x= \frac{3}{11} - \frac{3}{11} \alpha} \atop {y = - \frac{4}{11} + \frac{4}{11} \alpha}} \atop {z = \alpha}} \right.$