Question

Ejercicio 100 del Algebra de Baldor Numero 14 Pagina 164 Factorar 2a2 +5a+2

Answer 1

Para factorizar el trinomio $2a^2+5a+2$ debemos reconocer lo siguiente.

1) el coeficiente del monomio de mayor grado: 
- el monomio de mayor grado es $x^2$
- luego su coeficiente que es: $2$
- y escribir dos números que multiplicados den 2, esto es
2 = - 2 x -1
2 = 2 x 1

2) luego reconocer el término independiente, es decir el que no tiene x, este número es 2
- buscar dos números que multiplicados den 2
2 = - 2 x -1
2 = 2 x 1

3) luego los confrontamos
       $\begin{array}{|c|c|} \cline{1-2} \text{coeficiente de }a^2&\text{t\'ermino independiente }2\\ \cline{1-2} -2&-2\\-1&-1\\ \cline{1-2} -2&-1\\-1&-2\\ \cline{1-2} 2&-2\\1&-1\\ \cline{1-2} 2&-1\\1&-2\\ \cline{1-2} 2&2\\1&1\\ \cline{1-2} 2&1\\1&2\\ \cline{1-2} \end{array}$

4) Luego multiplicamos en aspa
   
      $\begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} \text{coef de }a^2&\text{t\'erm ind }2&\times&+\\ \cline{1-4} -2&-2&(-1)\cdot(-2)=2&2+2\\-1&-1&(-2)\cdot(-1)=2&4\\ \cline{1-4} -2&-1&(-1)\cdot(-1)=1&1+4\\-1&-2&(-2)\cdot(-2)=4&5\\ \cline{1-4} 2&-2&(1)\cdot(-2)=-2&-2-2\\1&-1&(2)\cdot(-1)=-2&-4\\ \cline{1-4} 2&-1&(1)\cdot(-1)=1&1-4\\1&-2&(2)\cdot(-2)=-4&-3\\ \cline{1-4} 2&2&(1)\cdot(2)=2&2+2\\1&1&(2)\cdot(1)=2&4\\ \cline{1-4} 2&1&(1)\cdot(1)=1&1+4\\1&2&(2)\cdot(2)=4&5\\ \cline{1-4} \end{array}$

5) Solo elegimos los que nos dieron 5, que es el coeficiente del término central del trinomio $2a^2+5a+2$

      $\begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} \text{coef de }a^2&\text{t\'erm ind }2&\times&+\\ \cline{1-4} -2&-1&(-1)\cdot(-1)=1&1+4\\-1&-2&(-2)\cdot(-2)=4&5\\ \cline{1-4} 2&1&(1)\cdot(1)=1&1+4\\1&2&(2)\cdot(2)=4&5\\ \cline{1-4} \end{array}$

6) ordenamos...

       $\begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} \text{coef de }a^2&\text{t\'erm ind }2&\times&+\\ \cline{1-4} -2a&-1&(-1)\cdot(-1)=1&1+4\\-1a&-2&(-2)\cdot(-2)=4&5\\ \cline{1-4} 2a&1&(1)\cdot(1)=1&1+4\\1a&2&(2)\cdot(2)=4&5\\ \cline{1-4} \end{array}$

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      $\begin{array}{|c|c||c|} \cline{1-3} \text{coef de }a^2&\text{t\'erm ind }2&\text{factores}\\ \cline{1-3} -2a&-1&(-2a-1)\\-a&-2&(-a-2)\\ \cline{1-3} 2a&1&(2a+1)\\a&2&(a+2)\\ \cline{1-3} \end{array}$

7)  como podemos ver hay dos formas de factorizarlo
         
          $2a^2+5a+2=(-2a-1)(-a-2)\\ \\ 2a^2+5a+2=(2a+1)(a+2)$

que básicamente son la misma cosa, usualmente se toma como factorización:
      
                  $\boxed{\boxed{2a^2+5a+2=(2a+1)(a+2)}}$