Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados el punto P(−1, 0, 2) y las rectas: r ≡ { x − z = 1 , y − z = −1 , s ≡ {x = 1 + λ , y = λ , z = 3 , se pide:
a) (1 punto) Determinar la posición relativa de r y s.
b) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s. c) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II.
Por favor

Answer 1

Acá te dejo la respuesta al ejercicio 1 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria jun 2012 - 2013 de Matematica II:

Dado el punto P(-1,0,2) y las siguientes rectas:

r:    x - z = 1      y - z = -1

s:   x = 1 + λ     y = λ             z = 3

a) Para conocer la posición relativa de s y r

r:   $u_{r}$ = (1,1,1)        Pr(1,-1,0)

s:  $u_{s}$ = (1,1,0)        Ps(1,0,3)

Ahora determinamos el vector:  PrPs = (1-1,0-(-1),3-0) = (0,1,3)

Aplicando producto cruz:

$\left[\begin{array}{ccc}0&1&3\\1&1&1\\1&1&0\end{array}\right] = 1 \neq 0$

∴ Las rectas r y s se intersectan.

b) Determinamos cual es la ecuación de la recta que pasa por el punto P y corta tanto a r como a s, encontrando una recta h que es producto de la intersección de dos planos:

π₁:   P.Pr = (2,-1,2)       $u_{r}$ = (1,1,1)     P(-1,0,2)

Aplicando producto cruz,

π₁:   $\left[\begin{array}{ccc}2&1&x+1\\-1&1&y\\-2&1&z-2\end{array}\right] = 0$

        x - 4y + 3z = 3.

π₂:  P.Ps = (2,0,1)       $u_{s}$ = (1,1,0)     P(-1,0,2)

π₂:   $\left[\begin{array}{ccc}2&1&x+1\\0&1&y\\1&0&z-2\end{array}\right] = 0$

        x - y - 2z = -5.

Ahora para h,

h:     x - 4y + 3z = 3.    x - y - 2z = -5.

c) Determinamos la ecuación de la recta que es perpendicular común a r y s,

Calculamos un vector director,

$u_{t} = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&1\\1&1&0\end{array}\right]$

Ahora hallamos una recta t producto de la intersección de dos planos:

π₁:  $u_{t}$=(-1,1,0)    $u_{r}$=(1,1,1)   Pr(1,-1,0)

Mediante producto cruz,

π₁:   $\left[\begin{array}{ccc}-1&1&x-1\\1&1&y+1\\0&1&z\end{array}\right]  = 0$

π₁:  x + y  - 2z = 0

π₂:  $u_{t}$=(-1,1,0)    $u_{s}$=(1,1,0)   Pr(1,0,3)

Usando producto cruz,

π₂: $\left[\begin{array}{ccc}-1&1&x-1\\1&1&y\\0&0&z-3\end{array}\right]  = 0$

π₂:  z = 3

Finalmente:  

t:    x + y - 2z = 0           z = 3