Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función f(x) = { a + ln(1 − x), si x < 0 , x 2 e −x , si x ≥ 0 , (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:
a) (1 punto) Calcular lımx→∞ f(x) y lım x→−∞ f(x).
b) (1 punto) Calcular el valor de a, para que f(x) sea continua en todo R.
c) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ′ , donde sea posible. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
a) Calcular lımx→∞ f(x) y lım x→−∞ f(x).
Para el límite cuando x tiende a ∞ se aplica en primer lugar una evaluación:
lımx→∞ (x^2 * e^–x) = 0*∞ (indeterminado)
Se reacomoda la función:
lımx→∞ (x^2 / e^x) = ∞/∞ (Indeterminado)
Aplicando L’Hopital.
lımx→∞ (2x / e^x) = ∞/∞ (Indeterminado)
Aplicando L’Hopital.
lımx→∞ (2 / e^x) = 0
Cuando el límite tiende a -∞.
lım x→−∞ [a + ln(1 − x)] = a + ln(∞) = ∞
b) Calcular el valor de a, para que f(x) sea continua en todo R.
Para que la función sea continua en todo R se debe cumplir que los límites laterales deben ser iguales y además la función evaluada debe ser igual a los límites laterales.
lımx→0+ (x^2 * e^–x) = 0
lım x→0− [a + ln(1 − x)] = a
Evaluando f(0):
f(0) = 0^2 * e^–0 = 0
Entonces se debe cumplir que:
lımx→0+ f(x) = lımx→0- f(x) = f(0)
0 = a = 0
a = 0 (Para mantener la continuidad)
c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ′, donde sea posible.
Para que una función sea derivable se debe cumplir su continuidad, por lo tanto a = 0.
Ahora se deriva f(x) y se obtiene que:
f(x) = {ln(1 − x), si x < 0 , x^2*e^−x , si x ≥ 0}
f’(x) = {-1/1-x, si x<0, 2xe^-x – x^2*e^-x, si x ≥ 0}
Se evalúan los límites laterales de f’(x).
lımx→0+ (-1/1-x) = -1
lımx→0- (2xe^-x – x^2*e^-x) = 0
Como lımx→0+ f’(x) ≠ lımx→0- f’(x), la función f(x) no es derivable en x = 0.
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