Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función f(x) = 2 cos2 x, se pide:
a) (1 punto) Determinar los extremos absolutos de f(x) en [−π 2 , π 2 ] .
b) (1 punto) Determinar los puntos de inflexión de f(x) en [−π 2 , π 2 ] . c) (1 punto) Calcular ∫ π/2 0 f(x) dx. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II.
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Answer 1

Te facilito la solución de la respuesta al ejercicio 1 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria jun 2012 - 2013 de Matemática II:

Dada la función $f(x) = 2 cos^{2} (x)$

a) Determinar los extremos absolutos de f(x)  en [$\frac{- \pi}{2} , \frac{ \pi}{2}$] 

Calculamos primero la derivada de f(x)

$f'(x) = -2sen(2x) = 0$

x = $\frac{k \pi}{2}$    con   k ∈ Z

Usando el intervalo [$\frac{- \pi}{2} , \frac{ \pi}{2}$]  encontramos tres soluciones:

* x = $\frac{ \pi}{2}$
* x = $\frac{ -\pi}{2}$
* x = 0

Usamos ahora el criterio de la segunda derivada para hallar los puntos de inflexión: $f''(x) = -4cos(2x)$

$f''(0) = -4$  < 0         en x = 0 existe un máximo absoluto

$f''( \frac{ \pi}{2} ) = 4$ > 0    en x = $\frac{ \pi}{2}$ hay un mínimo absoluto

$f''( \frac{ -\pi}{2} ) = 4$ > 0   en x = $\frac{ \pi}{2}$ hay un mínimo absoluto

b) Determinar los puntos de inflexión f(x)  en [$\frac{- \pi}{2} , \frac{ \pi}{2}$] con x = (2k+1)$\frac{ \pi}{4}$  k ∈ Z. Usando el intervalo [$\frac{- \pi}{2} , \frac{ \pi}{2}$]  encontramos tres soluciones:

* x = $\frac{ \pi}{4}$
* x = $\frac{ -\pi}{4}$

Analizamos la tercera derivada $f'''(x) = 8sen(2x)$

$f''( \frac{ \pi}{4} ) = 8$  ≠ 0    en x = $\frac{ \pi}{4}$ hay un punto de inflexión

$f''( \frac{ \pi}{4} ) = 8$  ≠ 0    en x = $\frac{ -\pi}{4}$ hay un punto de inflexión

c) Calculamos la siguiente integral definida:

$\int\limits^\frac{ \pi}{2} _0 {2 cos^{2}x} \, dx = \int\limits^\frac{ \pi}{2} _0 {1 +2 cos(2x)} \, dx = x + \frac{sen2x}{2}$ 

Evaluamos la integral:

$\int\limits^\frac{ \pi}{2} _0 {2 cos^{2}x} \, dx = \frac{ \pi}{2}$