Ecuaciones diferenciales Separables.
me pueden explicar el paso a paso para este ejercicio por favor
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
La Ecuación Diferencial (ed) \bold{(e^{-y}+1)Sin(x)dx=[1+Cos(x)]dy}(e
−y
+1)Sin(x)dx=[1+Cos(x)]dy es una ed de variables separables, cuya solución general es \bold{Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=C}Ln[1+Cos(x)]+Ln(e
y
+1)=C y la solución particular asociada a las condiciones iniciales y(0) = 0 es \bold{Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=Ln(4)}Ln[1+Cos(x)]+Ln(e
y
+1)=Ln(4) .
Explicación:
Una ed de variables separables se expresa de la siguiente manera:
{f_{(x)}}{j_{(y)}}dx+{h_{(y)}}{g_{(x)}}dy=0f
(x)
j
(y)
dx+h
(y)
g
(x)
dy=0
pudiendo reescribirse, mediante el uso del factor integrante: FI=\frac{1}{g_{(x)} j_{(y)}}FI=
g
(x)
j
(y)
1
reagrupada de la siguiente manera:
\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}dx+\frac{h_{(y)}}{j_{(y)}}dy=0
g
(x)
f
(x)
dx+
j
(y)
h
(y)
dy=0
La solución general de esta ed viene dada por:
\int{\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}\,dx}+\int{\frac{h_{(y)}}{j_{(y)}}\,dy}=C∫
g
(x)
f
(x)
dx+∫
j
(y)
h
(y)
dy=C
En el caso que nos ocupa: (e^{-y}+1)Sin(x)dx=[1+Cos(x)]dy(e
−y
+1)Sin(x)dx=[1+Cos(x)]dy
1.- Se define el factor integrante y reescribimos la ed:
FI=\frac{1}{(e^{-y}+1) [1+Cos(x)]}\qquad \RightarrowFI=
(e
−y
+1)[1+Cos(x)]
1
⇒
(ED)(FI): {(e^{-y}+1)Sin(x)dx-[1+Cos(x)]dy=0}{\frac{1}{(e^{-y}+1) [1+Cos(x)]}}\qquad \Rightarrow(ED)(FI):(e
−y
+1)Sin(x)dx−[1+Cos(x)]dy=0
(e
−y
+1)[1+Cos(x)]
1
⇒
\frac{Sin(x)dx}{1+Cos(x)}-\frac{dy}{(e^{-y}+1)}=0
1+Cos(x)
Sin(x)dx
−
(e
−y
+1)
dy
=0
2.- Integramos para obtener la solución general
\int{\frac{Sin(x)}{1+Cos(x)}\,dx}-\int{\frac{1}{ e^{-y}+1}}\,dy}=0
Ambas integrales se resuelven aplicando el método de cambio de variable:
\int{\frac{Sin(x)}{1+Cos(x)}\,dx}-\int{\frac{ e^{y}}{ e^{y}+1}}\,dy}=0
Primera integral: u = 1+Cos(x) ⇒ du = -Sin(x)dx
Segunda integral: w = e^{y}+1 ⇒ dw = e^{y}dy
La solución general es:
Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=C \qquad \RightarrowLn[1+Cos(x)]+Ln(e
y
+1)=C⇒
[1+Cos(x)](e^{y}+1)=C[1+Cos(x)](e
y
+1)=C
3.- Sustituimos las condiciones iniciales para hallar la solución particular:
Si x = 0 ^ y = 0
[Ln[1+Cos(0)]+Ln(e^{0}+1)=C \qquad \RightarrowLn[1+Cos(0)]+Ln(e
0
+1)=C⇒ C = Ln(4)
Por lo tanto la solución particular solicitada es:
\bold{Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=Ln(4)}Ln[1+Cos(x)]+Ln(e
y
+1)=Ln(4)