Question

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx 2. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: (y^2+1)-ye^(-x) dy/dx=0, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como: e^x-ln√(y^2+1)=1 〖 e〗^x+ln√(y^2+1)=1 e^(-x)+ln√(y^2+1)=-1 e^(-x)-ln√(y^2+1)=1

Answer 1

     DATOS :
    Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación
    diferencial es =?
        ( y² + 1) - ye⁻ˣ dy/dx =0    con valor inicial y(0)=0
      SOLUCIÓN:
      (y² + 1 ) = ye⁻ˣ dy/dx
          dx/e⁻ˣ = ydy/(y² + 1)
       ∫ dx/e⁻ˣ = ∫ ydy/(y² + 1 ) 
       ∫ eˣ dx = ∫ ydy/(y² + 1)
         eˣ + C1 = ∫  y du/(u * 2y)       método de sustitución  u= y² + 1 
         eˣ + C1 = (1/2) ∫du/u                                                 du = 2ydy
         eˣ  + C1 = (1/2) Lnu + C2                                          dy= du/(2y)
         eˣ + C1  = (1/2) Ln(y² + 1 ) + C2
         eˣ  = Ln√(y²  +1 )  + C2- C1
         eˣ  = Ln√(y² + 1 ) + C    ahora se trabaja con la condición inicial .
         e⁰ =  Ln√( o² + 1)  + C 
          1 =  Ln1 + C      Ln1 =0
          C =1 constante de integración .

         eˣ = Ln√( y² + 1 )  + 1 
         eˣ - Ln√ ( y² + 1)  = 1    respuesta de la ecuación diferencial dada .