Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-2, 1) y es tangente a la recta 3x-2y-6=0 en el punto (4,3)
Respuestas a la pregunta
La circunferencia se representa por la siguiente ecuación:
(x - h)² + (y - k)² = r²; ( 1 )
donde: h, k representan las coordenadas del centro de la circunferencia y r el radio.
El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a la recta dada, la cual pasa por el punto (4, 3)
Sea la recta dada 3x - 2y - 6 = 0
Despejando y:
y = 3/2x - 3; ( 2 )
La ecuación de una recta tiene la forma:
y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b el corte de la recta con el eje y.
De esta manera, la recta dada tiene una pendiente m = 3/2.
En este sentido, la recta perpendicular que pasa por el centro de la circunferencia tendrá una pendiente m = -3/2
Entonces se puede determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3) y por el centro de la circunferencia:
(y - 4)/(x - 3) = -3/2 ⇒ y - 4 = -3/2(x -3) = -3/2x + 9/2
∴ y = -3/2x + 17/2; ( 3 )
Ahora se determinará el punto que define el centro de la circunferencia, apoyados por los resultados anteriores
Los puntos (-2, 1) y (4,3) pertenecen a la circunferencia. Entonces reemplazando en ec., ( 1 ):
(-2 - h)² + (1 - k)² = r²; ( 4 )
(4 - h)² + (3 - k)² = r²; ( 5 )
Igualmente, el centro (h , k ), pertenece a la recta representada por ec. ( 3 ). Reemplazándolo, tenemos:
y = -3/2x + 17/2 ⇒ k = -3/2h + 17/2; ( 6 )
Igualando las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ) y reemplazando k de ec. ( 6 ) se tiene:
(-2 - h)² + (1 - k)² = (4 - h)² + (3 - k)²
4 - 4h + h² + 1 - 2k + k² = 16 - 8h + h² + 9 - 6k + k²
5 - 4h - 2k = 25 -8h - 6k; 4h + 4k = 20 ( 7 )
Reemplazando ( 6 ) en ( 7 ):
4h + 4(-3/2h + 17/2) = 20 ⇒ 4h - 6h + 34 = 20; ∴ h = 7
Reemplazando h en ec. ( 7 ) se obtiene k:
4h + 4k = 20 ⇒ 4*7 + 4k = 20 ∴ k = -2
Reemplazando h y k, y el punto (4 , 3) en la ec. ( 1 ) se obtiene r²:
(4 - 7)² + (3 + 2)² = r² ⇒ r² = 9 + 25 ∴ r² = 34
Por lo que la ecuación de la circunferencia buscada es:
(x - 7)² + (y + 2)² = 34
A tu orden...
Respuesta:
La respuesta del compañero anterior esta muy mal, ni si quiera el punto (-2,1), pertenece a la ecuación que dio el compañero VAGL92, se demuestra sencillamente graficando en geogebra, y aun así tiene 21 gracias y esta verificada.
respuesta correcta
La respuesta correcta es
Explicación paso a paso:
Procedimiento (agarre partes de la otra respuesta de VAGL92 para no escribir todo)
La circunferencia se representa por la siguiente ecuación:
(x - h)² + (y - k)² = r²; ( 1 )
donde: h, k representan las coordenadas del centro de la circunferencia y r el radio.
El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a la recta dada, la cual pasa por el punto (4, 3)
Sea la recta dada 3x - 2y - 6 = 0
Despejando y:
y = 3/2x - 3; ( 2 )
La ecuación de una recta tiene la forma:
y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b el corte de la recta con el eje y.
De esta manera, la recta dada tiene una pendiente m = 3/2.
En este sentido, la recta perpendicular que pasa por el centro de la circunferencia tendrá una pendiente m = -2/3
Entonces se puede determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3) y por el centro de la circunferencia, por lo que es:
2x+3y-17=0 ecu(3)
Ahora se determinará el punto que define el centro de la circunferencia, apoyados por los resultados anteriores
Los puntos (-2, 1) y (4,3) pertenecen a la circunferencia. Entonces reemplazando en ec., ( 1 ):
(-2 - h)² + (1 - k)² = r²; ( 4 )
(4 - h)² + (3 - k)² = r²; ( 5 )
Igualmente, el centro (h , k ), pertenece a la recta representada por ec. ( 3 ). Reemplazándolo, tenemos:
Resolviendo las ecuaciones nos da: k=41/7
y h=-2/7
Reemplazando h y k, y el punto (4 , 3) en la ec. ( 1 ) se obtiene r²:
r²=1300/49
Adjunto las imágenes de mi respuesta graficada y la respuesta del compañero VAGL92, para que vean como esta mal y mi respuesta esta bien, ustedes también lo pueden graficar para comprobar.
