Question

Dos números suman 20, halla dichos números sabiendo que el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.

Answer 1

Respuesta:

8 y 12.

Explicación:

Sean x, y. Como suman 20 podemos escribir que x + y = 20, o bien, y = 20 – x.

El producto del cuadrado de uno de ellos (por ejemplo x) por el cubo del otro se escribe

P(x) = x²·y³ = [sustituyendo y = 20 – x] = x²·(20-x)³

Derivando,

P’(x) = 2x·(20-x)³ + x²·3·(20-x)²·(-1) = [sacando factor común x(20-x)²] = x(20-x)²(2(20-x)-3x) = x(20-x)²(40-5x)

Igualando a cero para encontrar máximos o mínimos:

P’(x) = x(20-x)²(40-5x) = 0

Ecuación que tiene como soluciones las soluciones de cada uno de los factores igualados a cero, es decir,

x = 0;  

20 - x = 0, x = 20

40 - 5x = 0, x = 8

Para x= 0 y para x = 20 el producto es trivialmente mínimo y para x=8, la segunda derivada es

P”(x) = (20-x)²(40-5x) + x·(-2)(20-x)(40-5x) + x(20-x)²(-5)

P”(8) = 12^2·0 + x·(-2)(20-x)·0 -40·12^2 < 0

luego para x = 8 P(x) presenta un máximo.

Y los números pedidos son 8 y 12.