Question

Dieciséis equipos juegan un torneo de fútbol en el que cada equipo juega exactamente una vez contra cada uno de los demás equipos. En cada partido, el equipo ganador obtiene 3 puntos, el que pierde 0 puntos y, si hay empate, cada equipo obtiene 1 punto. Si al final de cada torneo la suma del número total de puntos de los 16 equipos es 350, ¿Cuántos partidos terminaron empatados?​

Answer 1

Combinaciones y factorial. Terminaron empatados 10 partidos.

1. Calculamos el total de partidos que se jugaron: 15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=120 partidos. Pero si fueran una cantidad de equipos muy grande, entonces podemos usar la siguiente formula para encontrar las combinaciones de los 16 elementos de dos en dos $\frac{16!}{2!(16-2)!}=\frac{16!}{2!*14!}$.
2. Recuerda que el factorial de un numero naturales la multiplicacion de los anteriores, es decir 2!=2*1=2 y 16!=16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 pero esto tambien es 16!=16*15*14!
3. De la ecuacion del punto 1. obtenemos que le numero de equipos es 16*15/2=120.
4. El numero total de puntos es 350. Podemos llegar a una ecuacion sencilla de una variable siendo x el numero de partidos empatados: (120-x)*3+x*2=350, luego 360-3x+2x=350, posteriormente concluimos que x=10.
5. Explicacion de la ecuacion: 120-x es 120 partidos menos los partidos empatados=partidos ganados. Lo multiplicamos por 3 para calcular la cantidad de puntos obtenidos por los partidos ganados. A esto le sumamos los puntos obtenidos por empates que es la multiplicacion de x, numero de partidos empatados por 2 que es la cantidad de puntos que se obtienen de empatar pues es un punto para cada equipo.
6. Verificamos: 110*3+10*2=350 puntos.