Question

dibujar las gráficas de las ecuaciones y=x^2 ; y=-x^2+6x-5 y esbozar las dos rectas que son tangentes a ambas graficas. Hallar las ecuaciones de esas rectas

Answer 1

Las gráficas de las funciones se encuentran en las imágenes adjuntas junto a sus rectas tangentes (en determinado punto). La primera función es la primera imagen y la segunda función es la segunda imagen.

Para calcular las ecuaciones de las pendientes de las rectas tangentes aplicamos derivadas.

Recordamos las derivadas de las potencias y la multiplicación:

F(x) = $x^{n}$

F'(x) = n*$x^{n-1}$

F(x) = mx

F'(x) = m

Entonces, calculamos las ecuaciones de las pendientes de las rectas tangentes:

y(x) = $x^{2}$

y'(x) = 2x

La ecuación de la pendiente de la recta tangente de y(x) = $x^{2}$ es 2x.

y(x) = -$x^{2}$ + 6x - 5

y'(x) = -2x + 6

La ecuación de la pendiente de la recta tangente de y(x) = -$x^{2}$ + 6x - 5 es -2x + 6.

Ahora, para determinar la ecuación de la recta tangente en cierto punto, tomamos un punto que pase por cada una de las funciones.

Empezamos con la función y(x) = $x^{2}$

y(x = 1) = $1^{2}$ = 1

El punto (1, 1) pasa pertenece a y(x) = $x^{2}$. Si sustituimos el valor de x = 1 en la ecuación de la pendiente de la recta tangente obtenemos que:

y'(x = 1) = 2*(1) = 2.

El valor de la pendiente es 2. Ahora, teniendo el valor de la pendiente y el punto (1, 1) podemos hallar la ecuación de la recta tangente a y(x) = $x^{2}$ en el punto (1, 1). La calculamos con la fórmula:

y - $y_{0}$ = m*(x - $y_{0}$)

y - 1 = 2*(x - 1)

y = 2x -2 + 1

y = 2x -1

La ecuación de la recta tangente a la función y(x) = $x^{2}$ en el punto (1, 1) es y = 2x -1

Seguimos con la función y(x) = -$x^{2}$ + 6x - 5

y(x = 1) = -$1^{2}$ + 6*(1) - 5 = 0

El punto (1, 0) pertenece a y(x) = -$x^{2}$ + 6x - 5. Si sustituimos el valor de x = 1 en la ecuación de la pendiente de la recta tangente obtenemos que:

y'(x = 1) = -2*(1) + 6 = 5.

El valor de la pendiente es 5. Ahora, teniendo el valor de la pendiente y el punto (1, -10) podemos hallar la ecuación de la recta tangente a y(x) = -$x^{2}$ + 6x - 5 en el punto (1, 0). La calculamos con la fórmula:

y - $y_{0}$ = m*(x - $y_{0}$)

y - 0 = 5*(x - 1)

y = 5x - 5

y = 5x - 5

La ecuación de la recta tangente a la función y(x) = -$x^{2}$ + 6x - 5 en el punto (1, -10) es y = 5x - 15